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Lexikon der Mathematik: Zerlegungsgruppe

einem Primideal in einer Galoisschen Zahlkörpererweiterung L/K zugeordnete Gruppe.

Es bezeichne \({{\mathfrak{O}}}_{K}\) bzw. \({{\mathfrak{O}}}_{L}\) die Ganzheitsringe (Hauptordnungen) der Zahlkörper K bzw. L, und es sei G die Galois-Gruppe der Körpererweiterung L/K. Dann operiert G auf \({{\mathfrak{O}}}_{L}\) als Gruppe von Ringautomorphismen. Zu einem Primideal \({\mathfrak{P}}\ne \{0\}\) in \({{\mathfrak{O}}}_{L}\) definiert man die Zerlegungsgruppe G−1(\({\mathfrak{P}}\)) als die Fixgruppe des Ideals \({\mathfrak{P}}\) unter der Operation von G, also \begin{eqnarray}{G}_{-1}({\mathfrak{P}})=\{\sigma \in G:\sigma ({\mathfrak{P}})={\mathfrak{P}}\}.\end{eqnarray} Der zur Zerlegungsgruppe gehörige Fixkörper \begin{eqnarray}{K}_{-1}({\mathfrak{P}})=\left\{\alpha \in L\left|\begin{array}{l}{\sigma (\alpha )=\alpha }\\{\text{f}\mathrm{\ddot{u}}\text{r alle}\,\sigma \in {\text{G}}_{-1}({\mathfrak{P}})}\end{array}\right.\right\}\end{eqnarray} heißt Zerlegungskörper von \({\mathfrak{P}}\).

Wählt man n ∈ ℕ0 fest, so bildet jedes σG−1 das Ideal \({{\mathfrak{P}}}^{n+1}\subset {{\mathfrak{O}}}_{L}\) auf sich ab; daher induziert σ einen Automorphismus des Faktorrings \({{\mathfrak{O}}}_{L}/{{\mathfrak{P}}}^{n+1}\).

Den Kern der so gewonnenen Operation von G−1 auf \({{\mathfrak{O}}}_{L}/{{\mathfrak{P}}}^{n+1}\) nennt man die n-te Verzweigungsgruppe Gn(\({\mathfrak{P}}\)), also \begin{eqnarray}{G}_{n}({\mathfrak{P}})=\left\{\sigma \in {G}_{-1}\left|\begin{array}{l}{{{\mathfrak{P}}}^{n+1}\,\text{teilt}\,(\sigma (\alpha)-\alpha )}\\{\text{für}\,\text{alle}\,\alpha \in {{\mathfrak{O}}}_{L}}\end{array}\right.\right\}.\end{eqnarray} Die Gn bilden bzgl. der Inklusion eine monoton fallende Folge normaler Untergruppen von G−1(\({\mathfrak{P}}\)), und es gibt ein N ∈ ℕ derart, daß GN(\({\mathfrak{P}}\)) nur aus der Identität auf L besteht; \begin{eqnarray}{G}_{-1}({\mathfrak{P}})\supset {G}_{0}({\mathfrak{P}})\supset \cdots \supset {G}_{N}({\mathfrak{P}})=\{{\text{id}}_{L}\}.\end{eqnarray} Die Gruppe G0(\({\mathfrak{P}}\)) nennt man auch Trägheitsgruppe des Primideals \({\mathfrak{P}}\), den dazugehörigen Fixkörper K0L auch Trägheitskörper von \({\mathfrak{P}}\).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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