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Lexikon der Mathematik: Ziffernextraktion

Ermitteln von Ziffern der Darstellung einer Zahl in einem Stellenwertsystem ohne Berechnung der vorangehenden Ziffern.

Beispielsweise kann man die Reihendarstellung \begin{eqnarray}\mathrm{ln}\,2=\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{{2}^{-n}}{n}\end{eqnarray} benutzen, um Binärstellen von ln 2 zu berechnen.

Durch gezielte Suche mit einem Computeralgebraprogramm fanden 1995 David Bailey, Peter Borwein und Simon Plouffe die BBP-Formel \begin{eqnarray}\pi =\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\frac{1}{{16}^{n}}\end{eqnarray} und damit eine Möglichkeit zur Ziffernextraktion für π im Hexadezimalsystem. Ähnliche Formeln fand man auch für π2 und weitere Zahlen. Die besonders einfache Formel \begin{eqnarray}\pi =\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(\frac{2}{4n+1}+\frac{2}{4n+2}+\frac{1}{4n+3}\right)\frac{{(-1)}^{n}}{{4}^{n}}\end{eqnarray} entdeckten Viktor Adamchik und Stan Wagon im Jahr 1997.

Die BBP-Formel erlaubt eine Berechnung der n-ten Hexadezimalstelle von π mit einem Zeitaufwand proportional zu n ln n und, was wesentlich ist, mit vernachlässigbarem Speicherbedarf. Es ist derzeit (2002) nicht bekannt, ob es auch zur Ziffernextraktion von π im Dezimalsystem derart schnelle Algorithmen gibt.

Fabrice Bellard gab 1997 einen Algorithmus mit quadratischem Zeitbedarf an, der die Ziffernextraktion von π zu beliebigen Basen erlaubt.

[1] Arndt, J.; Haenel, Ch.: Pi. Algorithmen, Computer, Arithmetik. Springer Berlin, 2000.
[2]Delahaye, Jean-Paul: Pi – Die Story. Birkhäuser Basel, 1999.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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