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Lexikon der Mathematik: Zins

(lat. census, „Vermögensschätzung“) bezeichnet den Preis für die leihweise Überlassung von Kapital.

An dieser Stelle sind nicht die Zinstheorien von Interesse, die sich mit der Zulässigkeit und der Notwendigkeit des Zinses beschäftigen (zu Fragen der ethisch-moralischen Berechtigung des Zinses vgl. etwa das kanon. Zinsverbot [2]), sondern nur die Modelle, mit denen die Finanzmathematik kalkuliert. Hier unterscheidet man zwischen diskontinuierlichen und kontinuierlichen Modellen, sowie in beiden genannten Fällen zusätzlich noch zwischen deterministischen und stochastischen Modellen.

Diskontinuierliche deterministische Modelle liegen der klassischen Zins- und Zinseszinsrechnung zugrunde, die zur Berechnung von Barwerten wie z. B. von Zeitrentenbarwerten, Pacht- und Ablöseversprechen und zur Tilgungsrechnung verwendet werden. Diese Zins-Modelle finden auch Anwendung bei der klassischen Kalkulation von Personenversicherungen im Deterministischen Modell der Lebensversicherungsmathematik. Auch wenn die historisch nachgewiesenen ersten Zinsverträge zurückverfolgt werden können in die Zeit des Entstehens einer antiken Geldwirtschaft während der römischen Kaiserzeit, so datieren systematische Zins- und Zinseszinsrechnungen doch erst sehr viel später und fallen mit dem Aufschwung mathematischer Methoden im siebzehnten Jahrhundert zeitlich zusammen: 1620 werden William Websters Zins- und Zinseszinstafeln veröffentlicht, etwa zeitgleich mit der Briggschen Logarithmentafel 1624, etwas später die ersten gesicherten Sterbetafeln und Tabellen von Leibrentenbarwerten (Leibrente) der Neuzeit durch E. Halley 1693.

In der Praxis weniger verbreitet sind Modelle mit kontinuierlicher Verzinsung. Diese sind aber für viele theoretische Untersuchungen wertvoll: Sie erlauben es, den Apparat der Infinitesimalrechnung anzuwenden und liefern die Möglichkeit praktisch relevanter Abschätzungen. Das gilt in einem noch stärkeren Maße für die stochastischen kontinuierlichen Zinskurvenmodelle, die in der Finanzmathematik Gegenstand aktueller Forschung sind.

Letztere Modelle erfordern anders als die klassische Finanzmathematik tiefere mathematische Methoden, z. B. Methoden der partiellen Differentialgleichungen und der stochastischen Analysis. Stochastische Zinskurvenmodelle werden benötigt bei der Kalkulation derivativer Finanzprodukte, bei Simulationsrechnungen zukünftiger Kapitalmarktszenarien und bei der Optimierung der Klassen von Vermögensanlagen professioneller Anleger.

[1] Björk, T.: Interest Rate Theory, in: Financial Mathematics, Lecture Notes in Mathematics 1656. Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, 1996.
[2] Braun, H.: Geschichte der Lebensversicherung und der Lebensversicherungstechnik. Duncker & Humboldt Berlin, 1963.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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