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Lexikon der Mathematik: ZPE-Ring

ein (kommutativer) Integritätsbereich, in dem jedes von Null verschiedene Element, das kein umkehrbares Element ist, ein Produkt von endlich vielen Primelementen ist.

ZPE–Ring ist die Abkürzung für „Ring mit eindeutiger Primfaktorzerlegung“. Solche Ringe werden auch faktorielle Ringe genannt.

Aus der Definition kann man ableiten, daß die Darstellung als Produkt von Primelementen bis auf die Reihenfolge und die Multiplikation der Primelemente mit umkehrbaren Elementen eindeutig bestimmt ist. In ZPE–Ringen sind die Primelemente genau die irreduziblen Ringelemente. Nach dem Lemma von Gauß gilt, daß der Polynomring in der Variablen X über dem Ring R, R[X], ein ZPE–Ring ist, wenn R selbst ein ZPE-Ring ist. Daraus ergeben sich Beispiele für ZPE-Ringe: Polynomringe in mehreren Veränderlichen über einem Körper oder dem Ring ℤ der ganzen Zahlen sind ZPE-Ringe, ebenso Potenzreihenringe in mehreren Veränderlichen über einem Körper.

Der Ring \({\mathbb{Z}}[\sqrt{-5}]\) ist kein ZPE-Ring (Zerlegung eines Elements in irreduziblen Faktoren).

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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