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Lexikon der Mathematik: zulässige Parameterdarstellung einer Fläche

eine injektive differenzierbare Abbildung \(\Phi:U\to {{\mathbb{R}}}^{3}\) einer offenen Teilmenge U ⊂ ℝ2 in eine Fläche \(\mathcal{F} \subset \mathbb{R}^3\), deren partielle Ableitungsvektoren \begin{eqnarray}{\Phi}_{u}(u,v)=\frac{\partial \Phi(u,v)}{\partial u}\end{eqnarray} und \begin{eqnarray}{\Phi}_{v}(u,v)=\frac{\partial \Phi(u,v)}{\partial v}\end{eqnarray} in jedem Punkt (u, v) ∈ U linear unabhängig sind.

Gleichwertig dazu ist, daß das Kreuzprodukt Φu × Φv in keinem Punkt von U verschwindet.

Die Bildmenge \(\Phi(U)\subset\mathcal{F}\) ist dann eine offene Teilmenge von \(\mathcal{F}\).

Für eine vollständige Beschreibung von \(\mathcal{F}\) sind meist mehrere lokale Parameterdarstellungen Φi(i = 1, …, N) erforderlich, deren Bildmengen \(\mathcal{F}\) überdecken. Die Φi werden lokale Parameterdarstellungen von \(\mathcal{F}\) genannt.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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