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Lexikon der Mathematik: zulässige Parametertransformation

eine genügend oft differenzierbare bijektive Abbildung ϕ : \({\mathcal{U}}\)1 rarr; \({\mathcal{U}}\)2 zweier offener Teilmengen \({\mathcal{U}}\)1, \({\mathcal{U}}\)2 ⊂ ℝ2, die Definitionsbereiche zweier Parameterdarstellungen Φ1 : \({\mathcal{U}}\)1 → \({\mathcal{F}}\) und Φ2 : \({\mathcal{U}}\)2 → \({\mathcal{F}}\) einer regulären Fläche \({\mathcal{F}}\) ⊂ ℝ3 sind.

Die Umkehrabbildung ϕ−1 : \({\mathcal{U}}\)2 → \({\mathcal{U}}\)1 muß ebenfalls und von derselben Ordnung wie ϕ differenzierbar sein. Das ist genau dann der Fall, wenn die Funktionaldeterminante \begin{eqnarray}\left|\begin{array}{cc}\displaystyle\frac{\partial {\varphi }_{1}({u}_{1},{u}_{2})}{\partial {u}_{1}} & \displaystyle\frac{\partial {\varphi }_{1}({u}_{1},{u}_{2})}{\partial {u}_{2}}\\ \displaystyle\frac{\partial {\varphi }_{2}({u}_{1},{u}_{2})}{\partial {u}_{1}} & \displaystyle\frac{\partial {\varphi }_{2}({u}_{1},{u}_{2})}{\partial {u}_{2}}\end{array}\right|\end{eqnarray} in keinem Punkt (u1, u2) ∈ \({\mathcal{U}}\)1 den Wert Null annimmt, wobei ϕ1 und ϕ2 die beiden Komponenten von ϕ bezeichnen.

Wenn \({{\unicode {x003A6}}}_{2}\circ \varphi ={\unicode {x003A6}}_{1}\) gilt, nennt man ϕ oder auch ϕ−1 eine zulässige Parametertransformation zwischen Φ1 und Φ2. Dann sind die Bildmengen gleich: \begin{eqnarray}{{\unicode {x003A6}}}_{1}({\mathcal {U}}_{1})={\unicode {x003A6}}_{2}({\mathcal {U}}_{2}).\end{eqnarray} Einfache Beispiele sind die Vertauschung ϕ(u1, u2) = (u2, u2) der Parameter, Änderungen der Skalierung ϕ(u1, u2 ) = (au1, bu2) mit a, b ∈ ℝ\{0}, oder Translationen ϕ(u1, u2) = (u1 + a, u2 + b).

Sind umgekehrt Φ1 und Φ2 zwei auf \({\mathcal{U}}\)1 bzw. \({\mathcal{U}}\)2 definierte Parameterdarstellungen derselben offenen Teilmenge \({\mathcal{V}}\) ⊂ \({\mathcal{F}}\), so ist durch \(\varphi ={\Phi }_{2}^{-1}\circ {\Phi }_{1}\) : \({\mathcal{U}}\)1 → \({\mathcal{U}}\)2 eine zulässige Parametertransformation zwischen Φ1 und Φ2 gegeben.

Der Begriff ist von beweistechnischer Bedeutung. Unter anderem spielt er beim Nachweis der Invarianz von verschiedenen Größen der Flächentheorie, wie Flächeninhalt, innerer Abstand, Gaußsche Krümmung oder mittlere Krümmung eine Rolle, die über Parameterdarstellungen definiert werden, aber in Wahrheit nur von der Gestalt der Fläche abhängen.

Die moderne Differentialgeometrie bemüht sich darum, für Begriffe mit invarianter Bedeutung auch invariante Definitionen zu geben.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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