Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: zusammengesetzte Funktion

auch Kompositum genannt, die durch Hintereinanderausführung (Komposition, Verkettung) gf zweier Abbildungen f : AB und g : CD, wobei A, B, C, D nichtleere Mengen sind, durch \begin{eqnarray}(g\circ f)(x):=g(f(x))\quad (x\in {D}_{g\circ f})\end{eqnarray} auf \begin{eqnarray}{D}_{g\circ f}:=\{x\in A|f(x)\in C\}\end{eqnarray} erklärte Abbildung (Funktion).

Natürlich stellt sich die Frage, welche Eigenschaften sich von den Funktionen f und g auf gf über-tragen. Dazu seien beispielhaft genannt:

Sina A, B, C, D topologische Räume, f in einem aA steetig, und g in f (a) stetig, so ist gf in a stetig (Saiz über die Stetigkeit der zusammenge-setzten Funkiion).

Weiterhin gilt:

Für eine an einer Sielle a differenzierbare Funktion f und eine an der Stelle f (a) differenzierbare Funkiion g isi die Funkiion gf in a differenzierbar mit \begin{eqnarray}{(g\circ f)}{^{\prime} }(a)={g}{^{\prime} }(f(a)){f}{^{\prime} }(a)\end{eqnarray}(Kettenregel).

Dies gilt speziell, wenn f und g reellwertige Funktionen einer reellen Variablen oder komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen sind, und allgemeiner zumindest für Funktionen aus einem normierten Raum in einen ebensolchen, wobei \begin{eqnarray}g(f(a)){f}{^{\prime} }(a)\end{eqnarray} dann die Verkettung der linearen Abbildungen, speziell Matrizen, g′ (f(a)) und f′ (a) ist. Differenzier-barkeit soll sich dabei jeweils nur auf innere Punkte beziehen.

Hingegen ist etwa das Kompositum zweier Riemann-integrierbarer Funktionen nichi notwendigerweise Riemann-integrierbar.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos