Begriff aus der algebraischen Geometrie.

Es seien X eine komplexe Mannigfaltigkeit und \({\mathbb{F}}={\mathbb{C}}\) oder ein glattes algebraisches Schema über einem Körper \({\mathbb{F}}\), sowie \({\mathcal{E}}\) ein Vektorbündel über X.

Ein Zusammenhang auf \({\mathcal{E}}\) ist ein \({\mathbb{F}}\)-linearer Operator \(D:{\mathcal {E}} \to {\Omega }_{X}^{1}\otimes{_{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal {E}} \) (\({\Omega }_{X}^{1}\) die Garbe der Differentialformen über \({\mathbb{F}}\)), der der Leibnizregel \begin{eqnarray}\nabla (fs)=df\otimes s+f\nabla s\end{eqnarray} (\((f\in {{\mathcal{O}}}_{X})\), S ∈ \({\mathcal{E}}\)) genügt. Der Schnitt ∇(s) heißt die kovariante Ableitung von s bez. des Schnittes s. Analog wird im C^∞-Fall der Begriff „Zusammenhang“ auf einem C^∞-Vektorbündel E definiert, an die Stelle von \({\mathcal{E}}\), \({{\mathcal{O}}}_{X}\) bzw. \({\Omega}_{X}^{1}\) hat man hier die Garben der C^∞-Schnitte \({C}_{X}^{\infty }(E),\,{C}_{X}^{\infty },\,{C}_{X}^{\infty }(T^\ast X)\) zusetzen. Während im C^∞-Fall auf jedem Vektorbündel Zusammenhänge existieren, ist das im komplexanalytischen oder algebraischen Fall nicht immer gewährleistet, notwendig und hinreichend ist hier das Verschwinden einer bestimmten Kohomologie-Klasse, der sog. Atiyah-Klasse.

Ebenso läßt sich der Begriff auf meromorphe Zusammenhänge ausdehnen, wobei insbesondere der Zusammenhang mit logarithmischen Polen wichtig ist. Ein meromorpher Zusammenhang mit Polen in einem (effektiven) Divisor D ⊂ X ist ein Operator \begin{eqnarray}\nabla : {\mathcal E} \to {\Omega }_{X}^{1}(* D){\otimes }_{{{\mathcal{O}}}_{X}} {\mathcal E} \end{eqnarray}\(\begin{eqnarray}({\Omega }_{X}^{1}(\ast D)={\bigcup }_{k\ge 0}{\Omega }_{X}^{1}(kD)\end{eqnarray}\), \(\begin{eqnarray}{\Omega }_{X}^{1}(kD)\end{eqnarray} \) = Formen mit höchstens k-fachem Pol längs D), der die Leibnizregel erfüllt, und ∇ hat logarithmische Singularitäten, wenn D nur Normale Kreuzungen hat und ∇ über \({\Omega }_{X}^{1}(\mathrm{log}D){\otimes }_{{\mathcal{O}}X}{\mathcal {E}} \) (Log-Komplex) faktorisiert.

Lokal, d.h., wenn ein Isomorphismus \({\mathcal{E}} \simeq {{\mathcal{O}}}_{X}^{r}\) vorliegt, läßt sich ∇ in der Form ∇v = dv + w · v schreiben, mit \(v\in {{\mathcal{O}}}_{X}^{r}\), aufgefaßt als Spaltenvektor, und einer (r × r)-Matrix w (mit Einträgen aus \({\Omega }_{X}^{1}\,\text{resp}.{C}^{\infty }(T^* X)\,\text{resp}.{\Omega }_{X}^{1}(* D)\), usw.). Jede solche Matrix definiert (lokal) einen Zusammenhang. Der Operator ∇ läßt sich zu Operatoren \begin{eqnarray}{\Omega }_{X}^{p}\otimes{_{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal{E}} \to {\Omega }_{X}^{p+1}\otimes {_{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal{E}} \end{eqnarray} (analog für die anderen Fälle) fortsetzen durch \begin{eqnarray}\nabla (\alpha \otimes s)=d\alpha \otimes s+(-1)^p\alpha \wedge \nabla s,\end{eqnarray} (α p-Form, s ∈ \({\mathcal{E}}\)). Dabei stellt sich heraus, daß \begin{eqnarray}\nabla \circ \nabla :{\Omega }^{p}\otimes {_{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal{E}} \to {\Omega }^{p+2}\otimes {_{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal{E}} \end{eqnarray} die Form Id ⋀ F mit einem \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-linearen Operator \begin{eqnarray}F=\nabla \circ \nabla :{\mathcal{E}} \to {\Omega }^{2}\otimes {_{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal{E}} \end{eqnarray} hat. In lokaler Form ist F durch die Matrix \begin{eqnarray}dw+w\wedge w\end{eqnarray} gegeben. Dieser \({{\mathcal{O}}}_{X}\)-lineare Operator heißt Krümmung des Zusammenhanges ∇ oder der Krümmungstensor von ∇. Sind \({\mathcal{E}}\)₁, \({\mathcal{E}}\)₂ mit Zusammenhängen ∇₁, ∇₂ versehen, so auch die Bündel \({\mathcal{E}}_{1}{\otimes }_{{\mathcal{O}_{X}}}{\mathcal{E}}_{2}\) mit \begin{eqnarray}\nabla ({s}_{1}\otimes {s}_{2})=\nabla ({s}_{1})\otimes {s}_{2}+{s}_{1}\otimes \nabla ({s}_{2})\end{eqnarray} bzw. \( {\mathcal H} {\text{om}}_{{{\mathcal{O}}}_{X}}({\mathcal E}_{1},{\mathcal E}_{2})\) mit \begin{eqnarray}\nabla (\varphi )({s}_{1})=\nabla (\varphi )({s}_{1}))-(1\otimes \varphi )\nabla ({s}_{1}).\end{eqnarray}

Insbesondere gilt also ∇(F) = 0 (die sog. zweite Bianchi-Idendität, die einfach aus \(\nabla \circ (\nabla \circ \nabla )=(\nabla \circ \nabla )\circ \nabla \) folgt).

Im Falle \({\mathcal {E}} ={\Theta }_{X}\) sei σ der Schnitt von \({\Omega }_{X}^{1}\otimes {{\mathcal{O}}}_{X}{\Theta }_{X}\). Dann heißt \begin{eqnarray}T=\nabla {\unicode {x03C3}}\in {\Omega }_{X}^{2}\otimes {_{\mathcal{O}_{X}}}{\Theta }_{X}\end{eqnarray}

Torsion des Zusammenhangs. Für Vektorfelder \({v}_{1},{v}_{2}\in {\Theta }_{X}\) ist \begin{eqnarray}T({v}_{1}\wedge {v}_{2})={\nabla }_{v_1}({v}_{2})-{\nabla }_{v_2}({v}_{1})-[{v}_{1},{v}_{2}].\end{eqnarray}

Wenn T = 0, so heißt ∇ torsionsfreier Zusammenhang. Ist g eine symmetrische Bilinearform \begin{eqnarray}{\Theta }_{X}\otimes {\Theta }_{X}\to {{\mathcal{O}}}_{X},\end{eqnarray}die nirgends ausgeartet ist, so gibt es einen eindeutig bestimmten torsionsfreien Zusammenhang ∇ auf Θ_X mit den Eigenschaften ∇(g) = 0 (d. h. \begin{eqnarray}dg(v,w)=g(\nabla v,w)+g(v,\nabla w)),\end{eqnarray} dieser heißt Levi-Civita-Zusammenhang. Analoges gilt im C^∞-Fall.

Schnitte s mit ∇s = 0 heißen flache Schnitte, und die Bedingung F = 0 ist notwendig und hinreichend für die Eigenschaft, daß das Bündel lokal durch flache Schnitte erzeugt wird. In diesem Falle bilden die flachen Schnitte eine lokal konstante Garbe E von Vektorräumen mit \({\mathcal {E}} ={{\mathcal{O}}}_{X}{\otimes }_{{\mathbb{C}}}E\), und jede solche Garbe \({\mathcal{E}}\) entspricht einem Bündel ε mit flachem Zusammenhang.

Zusammenhänge mit F = 0 heißen flach oder in-tegrabel. Ein wichtiges Resultat über integrable Zusammenhänge ist Delignes Fortsetzungssatz:

Ist D Divisor mit normalen Kreuzungen auf einer komplexen Mannigfaltigkeit X, und ist (\({\mathcal{E}}\)₀, ∇₀) ein holomorphes Vektorbündel auf X \ D mit einem flachen holomorphen Zusammenhang ∇₀, so gibt es eine Fortsetzung (\({\mathcal{E}}\), ∇) zu einem holomorphen Vektorbündel \({\mathcal{E}}\)auf X und einem meromorphen Zusammenhang ∇ mit logarithmischen Polen längs D.