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Lexikon der Mathematik: Zuverlässigkeitsschaltbild

Zuverlässigkeitsstruktur, in der Zuverlässigkeitstheorie verwendeter Typus von biterminalen orientierten Graphen zur graphischen Veranschaulichung des Zuverlässigkeitsverhaltens eines Systems.

„Biterminal“bedeutet hier, daß der Graph einen Anfangspunkt (Input I) und einen Endpunkt (Output O) besitzt. Bei der Darstellung geht man von folgenden Analogien aus: Die Systemkomponenten werden als Elemente betrachtet, die entweder Strom durchlassen, was einer intakten Komponente entpricht, oder aber Strom nicht durchlassen, was einer defekten Komponente gleichkommt. Die Systemkomponenten werden durch Rechtecke mit einer identifizierenden Bezeichnung charakterisiert. Im Gegensatz zur in der Technik gebräuchlichen Schaltbildern ist bei den Zuverlässigkeitsschaltbildern die mehrfache Darstellung einzelner Komponenten möglich. Identisch bezeichnete Komponenten im Schaltbild haben alle zur gleichen Zeit den gleichen Zustand (Abbildung 1).

Im rechten Schaltbild sind Verzweigungsstellen als Knoten gekennzeichnet; das andere verwendete Symbol ist in Abbildung 2 erklärt.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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Abbildung 1: Zuverlässigkeitsschaltbild

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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Abbildung 2: Schaltsymbol;der Ausgang C ist intakt, wenn mindestens einer der Eingänge A und B intakt ist

Ein Teilsystem, welches aus einer Reihe (Serie) von Elementen besteht, und dann und nur dann intakt ist, wenn alle Systemelemente intakt sind, heißt unabhängiges Seriensystem (Abbildung 3).

Ein Teilsystem, welches aus einer parallel geschalteten Elementen besteht, heißt Parallelsystem. Man spricht von einem unabhängigen Parallelsystem, wenn dieses Teilsystem nur dann nicht intakt ist, wenn alle Systemelemente nicht intakt sind (Abbildung 3).

Abbildung 3 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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Abbildung 3: Seriensystem (links) und Parallelsystem (rechts)

Zuverlässigkeitsschaltbilder spielen eine große Rolle in der Booleschen Zuverlässigkeitstheorie. Hier wird angenommen, daß alle Systemelemente unabhängig voneinander ausfallen. Unter dieser Annahme kann man die Zuverlässigkeitsfunktion (Ausfallwahrscheinlichkeit) in Reihen- und Parallelsystemen leicht bestimmen. Sei pi = P(Xi = 1) die Zuverlässigkeit des i-ten Systemelementes. Dann gilt für die Zuverlässigkeit eines Seriensystems mit n Elementen \begin{eqnarray}h({p}_{1},\ldots, {p}_{n})={\Pi }_{j=1}^{n}{p}_{j},\end{eqnarray}

Abbildung 4 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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und für ein reines Parallelsystem hat sie die Gestalt \begin{eqnarray}h({p}_{1},\ldots, {p}_{n})=1-{\Pi }_{j=1}^{n}(1-{p}_{j}).\end{eqnarray} Die Boolesche Zuverlässigkeitstheorie geht von sogenannten monotonen Systemen aus. Man spricht von einem monotonen System, wenn durch die Verschlechterung des Zustands einer Systemkomponente keine Verbesserung des Systemzustandes erreicht werden kann. Man kann zeigen, daß jedes monotone System sich in ein System transformieren läßt, welches aus Teilsystemen mit Serien-und Parallelstrukturen besteht. Dabei bestimmt man die kleinste Menge von Komponenten, deren Funktionsfähigkeit die Funktionsfähigkeit des ganzen Systems sichert, die sogenannte minimale Pfadmenge. Das ganze System funktioniert offenbar immer dann, wenn eines der Teilsysteme, welches eine in Serie geschaltete minimale Pfadmenge darstellt, funktioniert; man spricht von minimaler Parallel-Pfadserienstruktur. Man kann auch die kleinsten Mengen von Komponenten bestimmen, deren gemeinsamer Ausfall den Ausfall des Systems zur Folge hat. Solche Mengen heißen minimale Schnittmengen. Das ganze System funktioniert dann nicht, wenn eines der Teilsysteme, welches eine parallel geschaltete minimale Schnittmenge darstellt, nicht funktioniert. Man spricht von minimaler Serien-Schnittparallelstruktur.

Abbildung 4 zeigt eine sogenannte Brückenschaltung, Abbildung 5 ihre Darstellung als Pfadserienstruktur, und Abbildung 6 ihre Darstellung als Schnittparallelstruktur. Das System in Abbildung 4 nennt man System mit Brückenschaltung, da die Komponente 3 in beide Richtungen durchlaufen werden kann.

Abbildung 5 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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Abbildung 4: Zuverlässigkeitschaltbild einer Brückenschaltung

Abbildung 6 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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Abbildung 5: Darstellung der Brückenschaltung als Parallel-Pfadserienstruktur

Abbildung 7 zum Lexikonartikel Zuverlässigkeitsschaltbild
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Abbildung 6: Darstellung der Brückenschaltung als Serien-Schnittparallelstruktur

Zuverlässigkeit in den transformierten Systemen ist bei Unabhängigkeit der Systelemente leicht berechenbar.

[1] Hartung,J.; Elpelt,B.: Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik. Oldenbourg Verlag München/Wien, 1989.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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