Direkt zum Inhalt

Lexikon der Mathematik: Zwei-Norm-Raum

ein normierter Vektorraum, der mit der Zwei-Norm versehen ist.

Die Zwei-Norm ist ein Spezialfall der p-Norm mit 0 < p < ∞ und kann für Grundmengen verschiedener Art definiert werden. Nimmt man als Grundmenge V = ℝn, so definiert man die Zwei-Norm auf V durch \begin{eqnarray}\Vert x\Vert {}_{2}=\sqrt{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}{}^{2}+\cdots +{x}^{2}{}_{n}}\end{eqnarray} für x = (x1,..,xn). Man bezeichnet dann V auch als l2(n). Will man dagegen zu Folgen übergehen, so definiert man die Grundmenge \begin{eqnarray}V=\{({x}_{1},{x}_{2},\mathrm{\ldots})|\displaystyle \sum {}_{i=1}^{\infty }{x}_{i}{}^{2}\lt \infty \}\end{eqnarray} und erhält die ZweiNorm \begin{eqnarray}{\Vert x\Vert }_{2}=\sqrt{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{x}_{i}{}^{2}}\end{eqnarray} für x = (x1, x2, …). In diesem Fall bezeichnet man V als l2.

Auch für Funktionenräume ist die Definition einer Zwei-Norm möglich. Ist [a,b] ein Intervall und \begin{eqnarray}V=\{f:[a,b]\to {\mathbb{R}}|\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{2}(x)dx \quad \text{existiert}\,\text{und}\,\text{ist}\,\text{endlich}\},\end{eqnarray} so ergibt sich auf V die Zwei-Norm \begin{eqnarray}\Vert f\Vert {}_{2}=\sqrt{\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^{2}(x)dx.}\end{eqnarray} Man bezeichnet dann V als L2 [a, b].

Alle angeführten normierten Räume sind Hilberträume, das heißt, sie sind vollständig und werden von einem Skalarprodukt induziert. Im Falle V = l2(n) hat man das Skalarprodukt \begin{eqnarray}(x,y)=\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{x}_{i}.{y}_{i}.\end{eqnarray} Auf V = l2 verwendet man \begin{eqnarray}(x,y)=\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }{x}_{i}.{y}_{i}.\end{eqnarray} Schließlich wird die Norm auf L2[a, b] durch \begin{eqnarray}(f,g)=\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x).g(x)dx\end{eqnarray} erzeugt.

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

Partnervideos