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Lexikon der Mathematik: Zwischenwertsatz für Ableitungen

Zwischenwertsatz von Darboux, auf Gaston Darboux (1875) zurückgehender Satz, der besagt, daß für eine auf einem Intervall [a, b] ⊂ ℝ definierte differenzierbare Funktion f :[a, b] → ⊂ die Ableitung f′ auf dem offenen Intervall (a, b) jeden Wert zwischen f′(a) und f ′(b) annimmt, d. h. zu jeder reellen Zahl m zwischen f′ (a) und f′ (b) gibt es ein x ε (a, b) mit f ′(x) = m.

Man beachte, daß die Stetigkeit von f′ weder vorausgesetzt wird noch aus dem Satz folgt. Beispielsweise ist die schon von Darboux untersuchte Funktion f: ℝ → ℝ mit \begin{eqnarray}f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{x}^{2}\sin \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}\right.\end{eqnarray} differenzierbar mit \begin{eqnarray}{f}^{^{\prime} }(x)=\left\{\begin{array}{ccc}2x\sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x} &, & x\ne 0\\ 0 &, & x=0\end{array}.\right.\end{eqnarray}f′ ist zwar etwa in [−1, 1] beschränkt, aber an der Stelle 0 nicht stetig.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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