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Lexikon der Mathematik: zyklische Gruppe

eine Gruppe, die von einem einzigen Element erzeugt wird.

Eine zyklische Gruppe ist stets eine abelsche Gruppe.

Außer der einelementigen zyklischen Gruppe, die durch das Einselement e erzeugt wird, lassen sich alle zyklischen Gruppen (G, ·) wir folgt charakterisieren: Es gibt ein Element g ε G mit ge so, daß G selbst die kleinste Untergruppe von G ist, die g enthält.

Bezeichnen wir gg mit g2 etc., so ist die Ordnung von G gleich der kleinsten Zahl n mit \begin{eqnarray}{g}^{n}=e.\end{eqnarray} Gibt es kein solches n, dann handelt es sich um die zyklische Gruppe unendlicher Ordnung, und diese ist zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen isomorph.

Zyklische Gruppen sind genau dann isomorph, wenn sie von derselben Ordnung sind.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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