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Lexikon der Mathematik: Zylinder

geometrischer Körper, der von einer Zylinderfläche und zwei parallelen Ebenen begrenzt wird.

Unter einer Zylinderfläche wird dabei eine Fläche verstanden, die aus allen Geraden g des Raumes besteht, die mit einer vorgegebenen Kurve k, der Leitkurve der Zylinderfläche, jeweils einen gemeinsamen Punkt besitzen und zu einer vorgegebenen Geraden g0, die ebenfalls k schneidet, parallel sind. Diese Geraden werden als die Erzeugenden der Zylinderfläche bezeichnet.

Die Leitkurve k soll eine „echte“ Kurve, also weder eine Punkt noch eine Kurve, die ein gesamtes Flächenstück vollständig bedeckt, sein. Es muß sich dabei jedoch nicht notwendig um eine geschlossene und auch nicht um eine ebene Kurve handeln. Jede Zylinderfläche kann in eine Ebene abgewickelt werden und besitzt daher in jedem ihrer Punkte die Gaußsche Krümmung Null.

Oft wird auch die Zylinderfläche selbst als Zylinder bezeichnet.

Abbildung 1 zum Lexikonartikel Zylinder
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Zylinderfläche

Ein Körper, der von einem Teil einer Zylinderfläche mit einer geschlossenen Leitkurve k, der von zwei parallelen Ebenen ϵ1 und ϵ2 ausgeschnitten wird, und den Ebenenstücken, welche die Zylinderfläche aus ϵ1 und ϵ2 ausschneidet, begrenzt wird, heißt Zylinderkörper oder einfach Zylinder.

Die Teile der Zylinderoberfläche, die in ϵ1 bzw. ϵ2 liegen, heißen Grund- und Deckfläche; derjenige Teil, welcher auf der Zylinderfläche liegt, Mantelfläche oder Mantel des Zylinders.

Die Grund- und die Deckfläche eines beliebigen Zylinders sind zueinander kongruent. Die Teile der Erzeugenden der Zylinderfläche, die auf dem Mantel liegen, werden als Mantellinien, und der Abstand der Ebenen ϵ1 und ϵ2 als Höhe h des Zylinders bezeichnet. Stehen die Mantellinien eines Zylinders senkrecht auf der Grundfläche, so handelt es sich um einen geraden, anderenfalls um einen schiefen Zylinder.

Das Volumen des Zylinders hängt in beiden Fällen nur vom Flächeninhalt A der Grundfläche und von der Höhe ab: V = A · h.

Ein Zylinder mit kreisförmigen Grund- und Deckflächen heißt Kreiszylinder; die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten des Grund-und Deckkreises Achse des Kreiszylinders. Bei einem geraden Kreiszylinder steht die Achse senkrecht auf der Ebene des Grundkreises (und somit auch auf der Ebene des Deckkreises).

Abbildung 2 zum Lexikonartikel Zylinder
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Gerader und schiefer Kreiszylinder

Das Volumen eines beliebigen Kreiszylinders mit der Höhe h und dem Radius r des Grundkreises beträgt \begin{eqnarray}V=\pi {r}^{2}h,\end{eqnarray} der Mantelflächeninhalt eines geraden Kreiszylinders \begin{eqnarray}M=2\pi rh,\end{eqnarray} und sein gesamter Oberflächeninhalt \begin{eqnarray}O=2\pi r(r+h).\end{eqnarray} Ein Kreiszylinder, aus dem ein weiterer Kreiszylinder mit der gleichen Achse aber einem geringeren Radius ausgeschnitten wurde, ist ein Hohlzylinder.

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  • Die Autoren
- Prof. Dr. Guido Walz

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