Lexikon der Neurowissenschaft: Aussagenlogik
Aussagenlogik, propositionale Logik, E propositional logic, sentential logic, die Lehre von den gültigen Schlüssen. Die Aussagenlogik ist ein wichtiger Bereich der formalen Logik, der die Verknüpfung von Aussagen und deren Auswirkung, nicht aber den Wahrheitsgehalt der Formeln selbst untersucht. Die logische Sprache der Aussagenlogik besteht aus logischen Variablen (Aussagenvariablen, auch Boolesche Variablen) und logischen Junktoren, wie UND, ODER, NICHT oder der logischen Implikation ->. Aussagen wie "die Körpertemperatur ist höher als 40 Grad" oder "der Patient hat hohes Fieber" werden mit Aussagenvariablen wie A und B repräsentiert. Mittels der Junktoren können zusammengesetzte Formeln wie {A -> B} geschrieben werden, welches für die Aussage "WENN die Körpertemperatur höher als 40 Grad ist, DANN hat der Patient hohes Fieber" steht. Nimmt man für die Elementarformeln A und B bestimmte Wahrheitswerte (wahr/falsch) an, so kann der Wahrheitswert zusammengesetzter Formeln berechnet werden, indem man die Wahrheitswerttabellen für die logischen Junktoren anwendet. Diese Eigenschaft ist auch unter dem Begriff Kompositionalität bekannt. Ist eine Formel für eine bestimmte Belegung der Aussagenvariablen wahr, so heißt diese Belegung ein Modell der Formel. Modelle für die Beispielformel sind z.B. die Belegungen {A = wahr, B = wahr} oder {A = falsch, B = wahr}. Ist eine Formel für jede mögliche Belegung wahr, so heißt sie tautologisch (für die genannten Belegungen z.B. {A ODER NICHT A}). Gibt es keine einzige Belegung, für die eine Formel wahr ist, gibt es also kein einziges Modell für die Formel, so heißt sie unerfüllbar (hier z.B. {A UND NICHT A}). Der Begriff des Modells ist leicht auf Formelmengen erweiterbar und führt zum Begriff der Konsistenz: Besitzt eine Formelmenge kein Modell, ist sie also unerfüllbar, so heißt die Formelmenge inkonsistent, ansonsten konsistent. – Aussagenlogische Kalküle verwenden Schlußregeln, um aus Mengen aussagenlogischer Formeln neue Formeln abzuleiten. Die bekannteste Schlußregel ist der Modus Ponens, mit dem aus A und {A -> B} auf B geschlossen werden kann. Interessante Eigenschaften von Kalkülen sind Korrektheit und Vollständigkeit. Eine Schlußregel ist korrekt, wenn sie nur gültige Schlüsse produziert, d.h., immer, wenn die in der Schlußregel vorausgesetzten Formeln wahr sind, ist auch die abgeleitete Formel wahr. Der Kalkül ist korrekt, wenn alle seine Schlußregeln korrekt sind. Erlauben die Schlußregeln eines Kalküls für jede beliebige Formelmenge die Ableitung aller Formeln, welche logische Konsequenzen der Formelmenge sind, so ist der Kalkül auch vollständig. – Die Aussagenlogik ist entscheidbar, d.h., man kann Algorithmen konstruieren, die für eine beliebige gegebene Formel Tautologie, Erfüllbarkeit oder Unerfüllbarkeit feststellen können. Die Aussagenlogik und die zugehörigen algorithmischen Verfahren haben deshalb in vielen Anwendungsbereichen in der Informatik und der Elektrotechnik eine große Bedeutung. Boolesche Algebra, Logik.
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