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Lexikon der Optik: Beugungsgitter

Beugungsgitter, Gitter, eine regelmäßige Anordnung von Elementen, die das Licht entweder absorbieren oder über eine Änderung der optischen Weglänge seine Phase verändern, so daß es zu einer Beugung kommt. Gegenüber Kreuzgittern werden eindimensionale Gitterstrukturen weitaus bevorzugt. Während F. M. Grimaldi (1618-1663) schon Beugung an periodischen Strukturen kannte, ist die Entwicklung von spektroskopisch brauchbaren Gittern das Verdienst von J. v. Fraunhofer (1787-1826). Nach der Form des Gitters unterscheidet man bei B. Plangitter (ebene Gitter) und Konkavgitter (auf sphärischem oder asphärischem Träger), nach dem Wirkungsmechanismus Absorptions- und Phasengitter, nach der Art der Benutzung Reflexions- und Transmissionsgitter und nach der Dicke dünne Gitter und Volumengitter. Einige Gittertypen sind in Abb. 1 dargestellt. Am häufigsten werden Reflexionsgitter mit phasenändernder Wirkung nach Abb. 1c benutzt. Die Form der Furchen (Linien) eines Gitters wird durch das Furchenprofil beschrieben. Die einzelnen Furchen wiederholen sich mit dem Periodizitätsintervall g, das als Gitterkonstante bezeichnet wird. Deren Kehrwert ist die räumliche Teilungsfrequenz, auch als Linienzahl bezeichnet, die meist in Linien pro mm (L/mm) angegeben wird. Übliche Teilungen reichen von 200 bis 2500 L/mm, aber auch 70 L/mm sind z.B. für Echellegitter üblich. Es wurden Teilungen bis zu 10000 L/mm realisiert. In Abb. 2 ist die Beugung an einem Gitter dargestellt, wobei zur Veranschaulichung die Linse die Fernfeldverteilung in ihre Brennebene abbildet. Die Richtungen der einfallenden und der gebeugten Welle sind miteinander über die Gittergleichung


(1)

verbunden, wobei α den Einfallswinkel, β den Beugungswinkel, m die Beugungsordnung und λ die Wellenlänge bedeuten. Hier erfolgt die Wahl der Vorzeichen von α und β (die in der Literatur nicht einheitlich ist) in folgender Weise: Der Winkel α ist positiv zu zählen, der Winkel β ebenfalls positiv, wenn er bezüglich der Gitternormalen auf der gleichen Seite liegt wie α, andernfalls negativ. Mit dieser Konvention schließen sich dann die positiven Beugungsordnungen an die nullte nach der Seite hin an, auf der die Gitternormale liegt (Abb. 2). Die Gittergleichung (1) besagt, daß der Gangunterschied zwischen zwei Lichtstrahlen, die an benachbarten Furchen unter dem Winkel β gebeugt werden, bezüglich der 0. Beugungsordnung ein ganzzahliges Vielfaches (das m-fache) der Wellenlänge beträgt, so daß eine konstruktive Interferenz stattfindet. Bei festem α ändert sich β mit λ, also findet eine Auffächerung des Lichtes nach Spektralfarben, d.h. eine spektrale Zerlegung statt. In der Brennebene der Linse ergibt sich in der Fraunhoferschen Näherung der Beugungstheorie eine Intensitätsverteilung I(p) in Form eines Produktes zweier Verteilungen


(2)

mit k=2π/λ, p=sinα+sinβ. N bezeichnet die Gesamtzahl der Gitterfurchen. Der erste Faktor ist der Gitterfaktor (Interferenzfaktor), der unabhängig von der Furchenform ist, und der zweite der Form- oder Furchenfaktor (Intensitätsfunktion einer Furche), der die Beugung an einer einzelnen Furche beschreibt. Er ist gegeben durch


.

Dabei ist für f(x) bei Absorptiongittern der Transmissionsverlauf der Furche und bei Phasengittern die Größe exp{ikϕ(x)} mit ϕ(x) als Phasenverschiebung einzusetzen. Dies gilt für "flache" Furchenprofile, für "tiefe" Profile Beugungseffektivität. Die Zerlegung von I(p) gemäß (2) bestätigt das Theorem von Bridge. Die beiden Faktoren von I(p) sind in Abb. 3 dargestellt. Der Gitterfaktor bestimmt das theoretische Auflösungsvermögen und der Furchenfaktor bestimmt in Abhängigkeit von Einfallswinkel, Ordnung und Wellenlänge die Beugungseffektivität. Durch geeignete Furchenformen können bestimmte Beugungsordnungen unterdrückt werden, wie z.B. in Abb. 3 die 4. Beugungsordnung. Durch einen geeigneten Phasenschub eines Phasen-Sinusgitters kann beispielsweise die für die Spektroskopie unerwünschte 0. Beugungssordnung zum Verschwinden gebracht werden. Der Furchenfaktor kann durch sehr variable Verfahren zur Gitterherstellung in weiten Grenzen gesteuert werden (Beugungseffektivität, geblazte Gitter). Jede Wellenlänge, die in dem auf das B. fallenden Lichte vertreten ist, gibt nach (1) Anlaß zu verschiedenen Ordnungen m des gebeugten Lichtes (Abb. 4).

Die Beugungsordnungen verschiedener Wellenlängen können sich überlagern, so daß im Beugungsspektrum keine eindeutige Zuordnung der Wellenlängen zum Beugungswinkel mehr möglich ist (Abb. 5). Der Wellenlängenbereich, für den eine Überlappung benachbarter Ordnungen nicht auftritt, wird freier bzw. nutzbarer Spektralbereich oder nutzbares Dispersionsgebiet genannt. Dessen Ausdehnung ergibt sich aus dem Sachverhalt, daß eine Überdeckung der m-ten Ordnung (m>0) bei einer Wellenlänge λ2 mit der (m+1)-ten Ordnung bei einer Wellenlänge λ1 (< λ2) dann erfolgt, wenn die Beziehung λ2m = λ1(m + 1) besteht, zu λ21 = λ2/(m + 1). Beispiel: Wird ein Gitter in 1. Ordnung benutzt, so sollten im Spektrum keine Wellenlängen vorkommen, die kürzer als die Hälfte der im Spektrum vertretenen längsten Wellenlängen λ2 sind, wenn die zweite Ordnung die erste Ordnung nicht stören soll.

Die Stärke der Auffächerung polychromatischen Lichtes durch ein Gitter wird durch die Winkeldispersion beschrieben. Bei konstantem Einfallswinkel gibt sie an, wie sich der Beugungswinkel β mit λ ändert: ∂β/∂λ = m/(gcosβ) [grad/mm]. Wenn sich das Gitter bei Monochromatorbetrieb dreht, aber α=β=Drehwinkel Θ in Littrow-Aufstellung (Gitteraufstellung) gilt, so wird die Winkeldispersion ∂Θ/∂λ = (tanΘ)/λ. Eine weitere wichtige Kenngröße eines B. ist die Lineardispersion, die angibt, wie sich in der Empfängerebene (die Brennebene in Abb. 2), in der das Spektrum aufgenommen wird, die (in Richtung der Ausdehnung des Spektrums gezählte) Ortskoordinate x mit der Wellenlänge ändert: ∂x/∂λ = f∂β/∂λ (mit f als Brennweite einer fokussierenden Linse oder als Abstand der Empfängerebene zu einem korrigierten Konkavgitter), wobei auf der rechten Seite noch ein Neigungsfaktor hinzukommt. Der theoretische Wert für das Auflösungsvermögen eines Gitters, das als der Quotient aus der Wellenlänge und dem aufgelösten Wellenlängenintervall Δλ definiert ist, lautet


.

Dabei bezeichnen m die Beugungsordnung, N die Gesamtzahl der Furchen, Δmax den Gangunterschied der äußersten beiden interferierenden Strahlen und b=Ng die Breite des Gitters. Empfehlenswert ist die Benutzung des letzten Ausdruckes.

Folgende Gitterfehler können sich im Spektrum bemerkbar machen:

1) Gittergeister. Die Gitterteilung zeigt zusätzlich zur Grundperiode weitere unerwünschte Periodizitäten, die im Spektrum neben jeder Spektrallinie schwächere Nachbarlinien vortäuschen. Speziell sind Rowland-Geister durch langperiodische Teilungsfehler bedingt; sie liegen dicht neben der Spektrallinie. Lyman-Geister entstehen durch die Überlagerung zweier periodischer Teilungsfehler des Gitters; sie sind in relativ großen Abständen im Spektrum verteilt und daher zu erkennen. Sie sind um einen Faktor 103 bis 104 schwächer als die Spektrallinie.

2) "Grass". Die Furchenorte schwanken statistisch um ihre Soll-Lage. Als Folge davon tritt eine Untergrundintensität auf, die in der englischen Literatur "grass" genannt wird.

3) Streulicht. Unregelmäßigkeiten in der Oberflächengestalt der Furchen führen zu diffusem Streulicht neben den Linien.

Bei holographisch hergestellten Gittern können die unter 1) und 2) genannten Gitterfehler vermieden werden. Die Intensität des Streulichtes liegt bei holographischen Gittern etwa um den Faktor 10 niedriger als bei mechanisch geteilten Gittern (z.B. 10-6 anstelle von 10-5, bezogen auf das gebeugte Licht).



Beugungsgitter 1: Einige Gitterarten.
a) Amplitudengitter in Transmission,
b) Transmissions-Phasenreliefgitter,
c) Reflexions-(Phasenrelief-)Gitter,
d) Volumen-Phasentransmissionsgitter.
n Brechungsindex.



Beugungsgitter 2: Beugungserscheinungen an einem Plangitter, bestehend aus vier Spalten. Die eingezeichneten Winkel β sind negativ zu zählen (s. Text). g Gitterkonstante.



Beugungsgitter 3: Beugung an einem aus N = 6 Spalten bestehenden Gitter. a) auf 1 normierter Gitterfaktor

, (k Wellenzahl, g Gitterkonstante), b) normierter Formfaktor

für den Fall, daß jede Furche aus einem Spalt der Breite s besteht. c) normierte Intensitätsverteilung I(p).
Alle Kurven sind für negative p symmetrisch fortzusetzen.



Beugungsgitter 4: Gitterbeugung am Reflexionsgitter, dargestellt im reziproken Raum. Einfallendes Licht mit dem Wellenzahlvektor k kann hier nur in die 6 Ordnungen -1, ..., +4 gebeugt werden. α Einfalls-, β Beugungswinkel, g Gitterkonstante, λ Wellenlänge.



Beugungsgitter 5: Beugungsspektrum und freier Spektralbereich. B1 und R1 bedeuten Blau und Rot erster Ordnung usf.

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