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Lexikon der Optik: Fourier-Transformation in der Optik

Fourier-Transformation in der Optik, Zerlegung der Amplituden- bzw. Intensitätsverteilung sowie der Kohärenzfunktion des Objektes und des Bildes bei der kohärenten bzw. inkohärenten sowie partiell kohärenten Abbildung in Sinusgitter. Es wird so das Ortsfrequenz- oder Fourier-Spektrum der betreffenden Verteilung erzeugt. Infolge der Linearität der Übertragung ergibt sich das Bildspektrum aus dem Objektspektrum durch Multiplikation mit einer optischen Übertragungsfunktion. Man kann durch die F. die mathematische Beschreibung der optischen Abbildung ausgedehnter Objekte durch Faltung der Objektverteilung der Amplitude, Intensität bzw. der Kohärenzfunktion mit der entsprechenden Verwaschungsfunktion durch die einfachere Multiplikation des Fourier-Spektrums dieser Verteilung mit der sich als Fourier-Transformierte der Verwaschungsfunktion ergebenden optischen Übertragungsfunktion ersetzen (Abb.).

Die Basis der optischen F. bildet die Fraunhofersche Beugung, bei der der Verlauf der komplexen Amplitude im Beugungsbild


der Fourier-Transformierten der komplexen Amplitudentransparenz AO(xO, yO) des beugenden Objektes entspricht (xO, yO und x

, y

Koordinaten in der Objekt- und Bildebene, λ Wellenlänge, p' Abstand des Objektes vom Beugungsbild). Durch die Beugung wird die Amplitudenverteilung im Objekt mathematisch in zweidimensionale Amplitudensinusgitter (Elementargitter) mit unterschiedlichen Komponenten R'x=x'/(λp') und R'y=y'/(λp') der Ortsfrequenz (reziproke Gitterkonstante in x- und y-Richtung) zerlegt. Nach (1) ist die Amplitudenverteilung im Beugungsbild das Fourier- oder Ortsfrequenzspektrum der Amplitudenverteilung im beugenden Objekt. Da entsprechend auch die Amplitudenverteilungen in einer abzubildenden Objektebene und in der Eintrittspupillenebene bzw. in der Austrittspupille (Blende) und in der Bildebene durch F. auseinander hervorgehen, hat die F. für die optische Abbildung grundlegende Bedeutung. Sie verknüpft die Amplitudenverwaschungsfunktion mit der Pupillenfunktion und die Punktbildverwaschungsfunktion mit der inkohärenten optischen Übertragungsfunktion. Sie bildet die Basis der Abbeschen Theorie des Mikroskops (mikroskopische Abbildung) und der Ortsfrequenzfilterung durch Pupilleneingriffe. Exakt beschreibt die F. nur die Abbildung durch Fourier-Transformations-Optiken.

Nach der Fourier-Theorie der optischen Abbildung ist diese ein zweistufiger Prozeß einer Fourier-Analyse der Objektstruktur durch Beugung und einer nachfolgenden Fourier-Synthese durch die Blendenbeugung zu einer Bildstruktur. Durch die Beugung der von einem Lichtquellenpunkt ausgehenden Welle am Objekt wird bei kohärenter Abbildung dessen Amplitudenverteilung bzw. bei inkohärenter Abbildung dessen Intensitätsverteilung in ihr Ortsfrequenzspektrum zerlegt, das von der Blende durch Ausblenden der hohen Ortsfrequenzen und durch Dämpfung, Phasenverschiebung und Unterdrückung der Anteile niederer Ortsfrequenzen infolge von Wellenaberrationen und anderen Pupilleneingriffen gefiltert wird (Ortsfrequenzfilterung). Eine Phasenverschiebung bei einzelnen Ortsfrequenzen tritt nur bei Koma auf. Bei inkohärenter Abbildung werden die Anteile aller Ortsfrequenzen bereits durch die Beugung am Objekt unter teilweiser Ausblendung der Beugungsbilder durch die Aperturblende gedämpft. Als Filterfunktion wirkt bei kohärenter Abbildung die Pupillenfunktion, die als kohärente optische Übertragungsfunktion multiplikativ mit dem Amplitudenspektrum des Objektes zum Amplitudenspektrum des Bildes verknüpft wird. Bei inkohärenter Abbildung ist die Filterfunktion die optische Übertragungsfunktion, die durch Multiplikation mit dem Intensitätsspektrum des Objektes das Bildintensitätsspektrum ergibt.

Die Beugung an der Blende entspricht einer Fourier-Synthese des durch diese Ortsfrequenzfilterung beschnittenen und modifizierten Fourier-Spektrums zu einem vom Objekt mehr oder weniger abweichenden Bild.

Die Fourier-Transformation spielt auch eine wichtige Rolle in der optischen Bildverarbeitung.



Fourier-Transformation in der Optik: Schematische Darstellung der linearen Übertragung der Intensität I (XO) bzw. der Amplitude uB(XO) bei der inkohärenten bzw. kohärenten Abbildung durch Fourier-Zerlegung des Intensitäts- bzw. Amplitudenverlaufs des Objektes in elementare Intensitäts- bzw. Amplitudengitter hat {I}(WO) bzw.

B(WO), die durch die Ortsfrequenzfilterwirkung des optischen Systems – repräsentiert durch die unnormierte inkohärente bzw. kohärente optische Übertragungsfunktion D'(WO) bzw. 1/πψ'B(WO) – gedämpft und phasenverschoben

'(WO) bzw. hat

'B(WO)) zum Intensitäts- bzw. Amplitudenverlauf im Bild I'(X') bzw. u'B(X') überlagert werden.
* Faltungszeichen, G' bzw. u'R Punktbild- bzw. Amplitudenverwaschungsfunktion, ψ'B Pupillenfunktion, X bzw. X' reduzierte Koordinatenvektoren, WO reduzierter Ortsfrequenzvektor (nach C. Hofmann: Die optische Abbildung, Leipzig 1980).

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