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Lexikon der Optik: Maxwellsche Gleichungen

Maxwellsche Gleichungen, Grundgleichungen für die Beschreibung aller elektromagnetischen Erscheinungen, im besonderen der elektromagnetischen Wellen und damit auch des Lichtes. In differentieller Form lauten sie:


Dabei bedeuten:

E die elektrische Feldstärke [V/m],

H die magnetische Feldstärke [A/m],

D die dielektrische Verschiebung [C/m2=As/m2],

B die magnetische Induktion [T=Vs/m2],

j die elektrische Stromdichte [A/m2] und

ρ die Raumladungsdichte [C/m3=As/m3].

Der Punkt bezeichnet die partielle Ableitung nach der Zeit.

Hinzu kommen die Materialgleichungen, die D mit E bzw. B mit H verknüpfen und so die elektrischen bzw. magnetischen Eigenschaften des Mediums charakterisieren. Im Vakuum gilt:


mit ε0=8,8542·10-12 [F/m] als Dielektrizitätskonstante und μ0=4π·10-7 [H/m] als Permeabilität des Vakuums.

In einem Medium induziert die elektrische bzw. magnetische Feldstärke an den Atomen oder Molekülen elektrische bzw. magnetische Dipolmomente. Summiert man die in der Volumeneinheit befindlichen Dipolmomente, so erhält man die makroskopische Polarisation P bzw. die Magnetisierung M des Mediums, die in folgender Form zu D bzw. B beitragen:


Im Falle schwacher Felder ist P proportional zu E und M proportional zu H, so daß dann gilt:


mit ε als Dielektrizitätskonstante und μ als Permeabilität des Mediums. Die Verhältnisse ε/ε0, μ/μ0 werden relative Dielektrizitätskonstante εr bzw. Permeabilität μr genannt. Häufig werden auch für diese Größen die Symbole ε und μ benutzt.

Für die Optik ist von Interesse, daß die Dielektrizitätskonstante ε nur für ein isotropes Medium ein Skalar, für ein anisotropes Medium jedoch ein Tensor zweiter Stufe ist, so daß sich D und E in der Regel in ihrer Richtung unterscheiden. Weiterhin ist zu beachten, daß ε im allgemeinen von der Frequenz abhängt, mit der die elektrische Feldstärke oszilliert. Die Relation DE ist somit korrekter als eine Beziehung zwischen den Fourier-Koeffizienten von D und E zu verstehen. Bei starken Feldern treten zusätzliche Beiträge zur Polarisation auf, die quadratisch, kubisch, ... von der elektrischen Feldstärke abhängen (nichtlineare Polarisation). Sie sind die Ursache für die Erscheinungen der nichtlinearen Optik.

In der Optik hat man es meist mit unmagnetischen Materialien zu tun (μ=μ0). Des weiteren liegen normalerweise keine Raumladungen vor (ρ=0). Eine Stromdichte j wird durch die elektrische Feldstärke dann erzeugt, wenn das Medium eine elektrische Leitfähigkeit σ besitzt. In diesem Falle gilt das Ohmsche Gesetz jE, und die Dielektrizitätskonstante wird komplex (Metalloptik).

Aus den in Integralform geschriebenen M. G. ergeben sich an der Grenzfläche zwischen zwei Medien folgende Grenzbedingungen: Die Tangentialkomponente von E und die Normalkomponente von B sind in jedem Falle stetig. Dagegen springt die Normalkomponente von D, wenn eine elektrische Oberflächenladung vorliegt, und das gleiche gilt für die Tangentialkomponente von H, wenn ein elektrischer Oberflächenstrom vorhanden ist.

Aus den M. G. läßt sich eine Energiebilanz gewinnen. Dabei zeigt sich, daß die Größe


als Energiedichte des elektromagnetischen Feldes und der Poynting-Vektor (I.H. Poynting, 1852-1914)


als Vektor der Energiestromdichte anzusehen sind. Die Richtung von S zeigt die Richtung der Energieströmung in dem betreffenden Raumpunkte an, und sein Betrag gibt die Energiemenge an, die durch ein senkrecht zu S gelegenes Flächenstück von 1 m2 Größe pro s hindurchfließt.

In der klassischen Kontinuumstheorie ist die elektromagnetische Energiedichte w kontinuierlich im Raume verteilt. Diese Auffassung ist jedoch bei sehr kleinen Werten von w nicht mehr richtig, vielmehr ist die Energie dann in "Klümpchen", den Photonen, lokalisiert. Dies zeigt das Experiment (Photoeffekt) in Übereinstimmung mit der Quantentheorie der Strahlung.

Von großer Bedeutung ist, daß sich aus den M. G. eine Wellengleichung ableiten läßt, die das Verhalten elektromagnetischer Wellen beschreibt. Die M. G. stellen damit im besonderen die Grundlage für die Beschreibung sämtlicher optischer Erscheinungen dar.

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