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Lexikon der Optik: Strahlmatrix

Strahlmatrix, ABCD-Matrix, quadratische Matrix vom Rang 2 mit den Elementen A, B, C, D, die in der Form


mit i=x,y

die Transformation der Richtung


und der Lage


eines Lichtstrahls von einer beliebigen achsenorthogonalen Eingangsebene (E) in eine beliebige achsenorthogonale Ausgangsebene (A) bei der optischen Abbildung beschreibt. Dabei sind die cosαiE für i=x, y, z die Richtungskosinusse des Strahlrichtungseinheitsvektors s0E und die hiE für i=x, y die Koordinaten des Durchstoßpunktes des Strahls in der Eingangsebene sowie cosαiA und hiA die entsprechenden Größen in der Ausgangsebene. Die Brechzahlen in beiden Durchstoßpunkten sind nE und nA.

Für die Brechung an einer Kugelfläche (m) mit dem Radius rm sowie nE=nm und nA=n'm=nm+1 existiert eine Brechungsstrahlmatrix Rm mit den Komponenten


und

. Der Einfallswinkel εm und der Brechungswinkel ε'm berechnen sich über das vektorielle Brechungsgesetz entsprechend


aus den Skalarprodukten der Einheitsvektoren s0 und n0 in Richtung des Strahls und der Flächennormalen im Einfallspunkt der Fläche (m).

Die Elemente der Translationsstrahlmatrix Tm für den Übergang zur Nachbarfläche (m+1) sind


.

Der Abstand beider Strahldurchstoßpunkte ist d

m. Auch die Übergänge von der Objektebene sowie zu und von den Pupillen und zur Bildebene lassen sich durch Translationsstrahlmatrizen beschreiben.

Für die Strahltransformation von der Objektebene (O) mit den Parametern nE=nO, cosαiE=cosαiO (Objektraumstrahlneigung) und hxE=xO, hyE=yO (Objektpunktkoordinaten) in die Bildebene (Κ+1) mit den Parametern

(Bildraumstrahlneigung) und

durch ein optisches System aus Κ Flächen kann aus Κ+1 Translationsstrahlmatrizen Tm für die Übergänge von der Objektebene, zwischen den brechenden Flächen und zur Bildebene sowie aus den Κ Brechungsstrahlmatrizen Rm der brechenden Flächen durch nicht kommutative Matrizenmultiplikation eine einem konkreten Strahl zugeordnete Produktstrahlmatrix


gebildet werden.

Besonders vorteilhaft ist die Anwendung von S. für das Optikrechnen im paraxialen Gebiet. Wegen

(paraxiale Strahlneigung),

(paraxiale Bildhöhe) sind alle Elemente der als Gauß-Matrizen bezeichneten paraxialen S. strahlunabhängige Funktionen der Brechzahlen, Radien, Linsendicken und -abstände d'm sowie der paraxialen Schnittweiten s01 und s'0Κ im Objekt- und Bildraum. Die Matrixelemente der Gauß-Matrizen sind


und


.

Im paraxialen Gebiet kann man jeder dünnen Linse (L) eine Brechungsstrahlmatrix zuordnen, deren Element


der negativen Brechkraft der Linse entspricht (f

Brennweite der Linse).

Auch asphärischen Linsen, axialsymmetrischen Gradientenindexlinsen, Gittern und im erweiterten Sinne Interferenzschichten können S. zugeordnet werden. Das Zusammenwirken mehrerer derartiger optischer Bauelemente kann durch die beschriebene Multiplikation entsprechender Matrizen in paraxialer Näherung mathematisch modelliert werden. Ein weiteres Anwendungsgebiet der S. ist die Strahltransformation Gaußscher Bündel.

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