Direkt zum Inhalt

Metzler Lexikon Philosophie: Modallogik

Teilgebiet der formalen Logik zur logischen Untersuchung der Modalitäten wie Möglichkeit und Notwendigkeit. Verallgemeinernd lässt sich die M. auch als die logische Theorie der Modaloperatoren auffassen.

Historisch nimmt die M. ihren Anfang bei Aristoteles, wo sie in der peri hermeneias und bes. der an. pr. entwickelt wird. Eine Fortführung und Vereinfachung der modalen Syllogistik im Anschluss an Aristoteles geschieht durch dessen Schüler Theophrastus. Alternative Ansätze der antiken M. finden sich in der Logik der teilweise in eleatischer Tradition stehenden megarischen Schule sowie der daraus hervorgegangenen stoischen Logik, die wegen ihres quasipropositionalen Charakters Ähnlichkeit mit der modernen aussagenlogischen M. aufweist. Beiträge zur M. finden sich auch in der scholastischen Logik etwa bei Abälard, Wilhelm von Shyreswood und Albertus Magnus und bilden in den folgenden Epochen bis Leibniz einen festen Bestandteil logischer Untersuchungen.

Mit der Entstehung der modernen Logik im 19. Jh. ist zuerst keine M. verbunden. Als Beginn der modernen M. gelten die Untersuchungen C. I. Lewis über die sog. strikte Implikation. Diese waren von der Absicht geleitet, die wahrheitsfunktionale, materiale Implikation durch eine Aussageverknüpfung zu ersetzen, die anders als die materiale Implikation eine inhaltliche Folgerungsbeziehung ausdrückt. Die von Lewis für diese Zwecke vorgeschlagene strikte Implikation kann, wie Lewis selbst betonte, als eine notwendige materiale Implikation verstanden werden. Lewis entwickelte in Anlehnung an die axiomatische Darstellung der Logik in den Principia Mathematica von Whitehead und Russell fünf Systeme der strikten Implikation S1–S5 von aufsteigender Stärke, bei denen es sich bereits im Wesentlichen um Modalkalküle handelt. In der Folge wurde die strikte Implikation durch die dualen Modaloperatoren für Notwendigkeit □ und Möglichkeit ◊ ersetzt. Dies führte insbesondere durch die Arbeiten von G. H. v. Wright zu der noch heute üblichen axiomatischen Darstellung der M. Ein modallogisches System Σ ist dabei durch eine Menge von modallogischen Axiomen und Schlussregeln auf einer nicht-modalen, häufig klassisch-logischen Basis charakterisiert. Für die Zwecke der M. selbst, ohne Anwendungsabsichten genügt in der Regel eine Beschränkung auf die Aussagenlogik. Einige bekannte Axiome lauten schematisch:

K: □(A → B) → (□A → □B)

(wenn notwendigerweise: wenn A, dann B, dann, wenn notwendigerweise A, dann notwendigerweise B)

T: □A → A

(wenn notwendigerweise A, dann A)

B: A → □◊A

(wenn A, dann ist es notwendigerweise möglich, dass A)

4: □A → □□A

(wenn notwendigerweise A, dann ist es notwendig, dass notwendigerweise A)

5: ◊A → □◊A

(wenn möglicherweise A, dann ist es notwendigerweise möglich, dass A)

W: □(□A → A) → □A

(wenn notwendigerweise, dass, wenn notwendigerweise A, dann A, dann notwendigerweise A)

An modalen Schlussregeln gebräuchlich ist v.a. die sog. Notwendigkeitsregel RN: A/□A. Weitere Regeln sind RM: A → B/□A → □B oder RE: A ↔ B/□A ↔ □B.

Vornehmlich aufgrund semantischer Betrachtungen stehen solche modallogischen Systeme im Mittelpunkt des Interesses, die auf der Basis der klassischen Logik durch Hinzunahme der Axiome des Schemas K (sowie eventuell weiterer modaler Axiome) und der Notwendigkeitsregel entstehen. Diese werden als normale Modalsysteme bezeichnet. In einer auf E. J. Lemmon zurückgehenden Nomenklatur können solche Systeme durch Angabe ihrer charakteristischen Axiome bezeichnet werden (z.B. ist KTB dasjenige normale System, das durch die Axiome K, T und B charakterisiert ist). Das Lewis’sche System S5 erweist sich bei dieser Darstellung als äquivalent zu KT5, das wiederum identisch ist mit KTB4. Das schwächere System S4 von Lewis entspricht dem System KT4. Neuerdings von Interesse ist das System KW, das eine modallogische Darstellung der für die Gödel’schen Unvollständigkeitsresultate zentralen Begriffe ermöglicht. Das anschaulich undurchsichtige Schema W stellt dabei die modallogische Version eines aus der Beweistheorie bekannten Theorems von M. Löb dar. KW verdeutlicht, dass die M. in ihren Einsichten nicht an die Vorgaben eines intuitiven Verständnisses der Modalitäten gebunden bleibt.

Eine dem syntaktischen Zugang entsprechende semantische Darstellung der M. gelang anfänglich nur für bestimmte modallogische Systeme mit algebraischen Methoden. Wichtige Ergebnisse aus dieser Richtung stammen insbesondere von J. C. C. McKinsey und A. Tarski (teilweise in Zusammenarbeit mit weiteren Autoren) und sind in Verbindung mit modallogischen Entscheidbarkeitsfragen zu sehen. Die dabei entstandenen sog. modalen Algebren sind formal Boole’sche Algebren mit einer zusätzlichen Operation zur Interpretation des Notwendigkeitoperators (bzw. Möglichkeitsoperators), die etwa im Falle von Erweiterungen von S4 topologische Strukturen bestimmen. Die Bedeutung modaler Algebren ergibt sich aus einer 1951 von Tarski und B. Jónsson aufgestellten Verallgemeinerung des Darstellungssatzes für Boole’sche Algebren von M. Stone auf Algebren mit Operatoren. Dies führte in den letzten Jahren zu aufschlussreichen Anwendungen algebraischer Methoden in der modelltheoretischen Semantik der M. Mit der Entwicklung der modelltheoretischen Semantik trat die algebraische Semantik jedoch vorerst in den Hintergrund. Eine erste Darstellung dieser Art gelang durch R. Carnap 1947 für das System S5 mit der Einführung sog. Zustandsbeschreibungen (Intensionale Semantik). Im Rahmen der Aussagenlogik können diese als aussagenlogische Bewertungen verstanden werden. Dies führt zu der Darstellung von Notwendigkeit als Wahrheit unter allen Bewertungen (relativ zu einer Klasse von Zustandsbeschreibungen) und sichert die Gültigkeit der S5-Theoreme. Inhaltlich greift Carnap damit eine Formulierung von Leibniz auf, wonach Notwendigkeit Wahrheit in allen möglichen Welten bedeutet. Die Verallgemeinerung dieses Vorschlags für weitere modallogische Systeme gelang durch S. Kripke Anfang der sechziger Jahre. Ähnliche Überlegungen wurden unabhängig davon und etwa zeitgleich durch S. Kanger und J. Hintikka veröffentlicht. Der wesentliche Aspekt dieser Verallgemeinerung ist die Einführung einer zweistelligen Relation R, der sog. Zugänglichkeitsrelation, zwischen möglichen Welten, die ihrerseits die Carnap’schen Zustandsbeschreibungen verallgemeinern. Durch die Zugänglichkeitsrelation R wird jeder möglichen Welt w die Menge der von w ›erreichbaren‹ oder ›einsehbaren‹ Welten zugeordnet. Eine Aussage A ist notwendig wahr in einer Welt w dann und nur dann, wenn A wahr ist in allen von w erreichbaren Welten w'. Für die formale Ausarbeitung dieses Gedankens werden sog. relationale Kripke-Modelle M = definiert als Tripel, bestehend aus einer nicht-leeren Menge W von möglichen Welten, einer zweistelligen Relation R auf der Menge der möglichen Welten und einer Bewertungsfunktion V, die jeder Aussagenvariable p aus der betrachteten Sprache für jede Welt w einen Wahrheitswert V(w,p) zuordnet. Die semantische Grundrelation »A ist wahr in der Welt w (in dem Modell M)« – M⊨w A – kann auf der Grundlage der Bewertungsfunktion V wie folgt definiert werden:

(i) für Aussagenvariablen p: M⊨w p gdw V(w,p) = W

(ii) für A = ¬B: M⊨w ¬B gdw nicht M⊨w B

(iii) für A = B ∧ C: M⊨w B ∧ C gdw M⊨w B und M⊨w C und analog für ˅, →, ↔,

(iv) für A = □B: M⊨w □B gdw für alle w' mit wRw': M⊨w' B.

Weitere semantische Begriffe wie Gültigkeit oder Folgerung lassen sich im Anschluss daran in der üblichen Weise definieren. Da z.B. im Rahmen sog. Vollständigkeitsbetrachtungen, die zeigen, dass jede in einer Klasse K von Kripke-Modellen gültige Formel in einem bestimmten normalen System Σ ableitbar ist, die Bewertungsfunktion beliebig gewählt werden kann, ist es zweckmäßig, sog. modale Rahmen (engl. frames) zu betrachten, die unter Verzicht auf die Bewertungsfunktion V die relationale Struktur der Kripke-Modelle festlegen. Für die Entwicklung der M. bedeutsam war die Frage, welche Relationsbedingungen welchen modalen Axiomen entsprechen. Bekannte Resultate diesbezüglich sind Z.B.

– T: □A → A ist gültig in einem modalen Rahmen gdw R reflexiv ist

– 4: □A → □□A ist gültig in einem modalen Rahmen gdw R transitiv ist

– B: A → □◊A ist gültig in einem modalen Rahmen gdw R symmetrisch ist.

Inzwischen sind jedoch Beispiele modaler Formeln bekannt, die keinen relationalen Bedingungen entsprechen. Da diese relationalen Bedingungen in einer quantorenlogischen Sprache erster Stufe definierbar sind, wurde daraus der Schluss gezogen, dass die M. im Kern eine Logik zweiter Stufe ist. Überraschend war weiterhin die Entdeckung modaler Systeme, die durch keine Klasse modaler Rahmen charakterisierbar sind. Diese werden als unvollständige Modalsysteme bezeichnet. Die Untersuchungen sowohl über die Korrespondenz von modalen Formeln und relationalen Bedingungen als auch über die Charakterisierbarkeit modaler Systeme durch Klassen von Modellen oder Rahmen haben aufgrund der dabei verwendeten modelltheoretischen Methoden zu einer Wiederbelebung der algebraischen Tradition geführt.

Relationale Kripke-Modelle erlauben Verallgemeinerungen, die auch die semantische Darstellung nichtnormaler Modalsysteme ermöglichen. So lassen sich in die Menge der möglichen Welten auch sog. nichtnormale Welten einführen, in denen die Gesetze der Logik nicht mehr als notwendig wahr gelten. Von R. Montague und D. Scott wurden zudem sog. umgebungssemantische Modelle vorgeschlagen, die grob formuliert die Zugänglichkeitsrelation zwischen Welten ersetzen durch eine Zugänglichkeitsrelation R zwischen möglichen Welten und Mengen von möglichen Welten. Eine Aussage ist dabei notwendig in einer Welt w dann und nur dann, wenn w in der Relation R steht zu der Menge aller möglichen Welten, in denen A wahr ist.

Prinzipiell können die in der Aussagenlogik beschriebenen modallogischen Begriffe und Techniken auf die Prädikatenlogik übertragen werden. Besondere Bedeutung kommt in der modalen Prädikatenlogik der sog. Barcan-Formel (nach R.Barcan)

\begin{eqnarray}\forall \text{x}\square \text{A}\to \square \forall \text{xA}\end{eqnarray}

zu. Anschaulich beschrieben legt die Barcan-Formel einen einheitlichen Individuenbereich für alle möglichen Welten fest (im Unterschied zu weltabhängigen Individuenbereichen). Resultate normaler aussagenlogischer Modalsysteme können unmittelbar auf solche prädikatenlogische Erweiterungen übertragen werden, die die Barcan-Formel enthalten.

Philosophisch ist die M. aus mehreren Gründen bedeutsam. In ihrer semantischen Ausprägung lieferte sie den Kernbereich der intensionalen Semantik und damit einen wichtigen Beitrag zur logischen Sprachanalyse. Gleichzeitig trug die modale Prädikatenlogik mit den anschaulichen Schwierigkeiten möglicher Individuen zu einer Wiederbelebung metaphysischer Themen im Rahmen der analytischen Philosophie bei. Darüber hinaus verdient die M. aber v.a. deshalb Beachtung, weil sie mit der Behandlung nicht-wahrheitsfunktionaler logischer Konstanten eine Erweiterung der klassischen Logik und der durch diese ausgewiesenen logischen Zusammenhänge versucht. So betrachtet fügt sich die M. in die historische Entwicklung der Logik, in der es immer wieder zu Erweiterungen des Logikbegriffs kam. Auch innerhalb der M. ist eine derartige Entwicklung erkennbar, wo inzwischen auch sog. polymodale Logiken, mit weiteren Modaloperatoren, und mehrdimensionale M.en, bei denen die möglichen Welten durch Folgen von möglichen Welten ersetzt werden, Gegenstand der Forschung sind.

Literatur:

  • J. van Benthem: Classical and Modal Logic. Napoli 1985
  • G. Boolos: The Unprovability of Consistency. Cambridge 1979
  • B. Chellas: Modal Logic. An Introduction. Cambridge 1980
  • D. Gabbay/F. Guenthner (Hg.): Handbook of Philosophical Logic. Vol. II. Dordrecht 1984
  • G. Hughes/M. Cresswell: An Introduction to Modal Logic. London 21972
  • G. Hughes/M. Cresswell: A Companion to Modal Logic. London 1984
  • Diess.: A New Introduction to Modal Logic. London 1996
  • W. Rautenberg: Klassische und Nichtklassische Aussagenlogik. Braunschweig 1979.

UM

Lesermeinung

Wenn Sie inhaltliche Anmerkungen zu diesem Artikel haben, können Sie die Redaktion per E-Mail informieren. Wir lesen Ihre Zuschrift, bitten jedoch um Verständnis, dass wir nicht jede beantworten können.

  • Die Autoren
AA Andreas Arndt, Berlin
AB Andreas Bartels, Paderborn
AC Andreas Cremonini, Basel
AD Andreas Disselnkötter, Dortmund
AE Achim Engstler, Münster
AG Alexander Grau, Berlin
AK André Kieserling, Bielefeld
AM Arne Malmsheimer, Bochum
AN Armin Nassehi, München
AR Alexander Riebel, Würzburg
ARE Anne Reichold, Kaiserslautern
AS Annette Sell, Bochum
AT Axel Tschentscher, Würzburg
ATA Angela T. Augustin †
AW Astrid Wagner, Berlin
BA Bernd Amos, Erlangen
BBR Birger Brinkmeier, Münster
BCP Bernadette Collenberg-Plotnikov, Hagen
BD Bernhard Debatin, Berlin
BES Bettina Schmitz, Würzburg
BG Bernward Gesang, Kusterdingen
BI Bernhard Irrgang, Dresden
BK Bernd Kleimann, Tübingen
BKO Boris Kositzke, Tübingen
BL Burkhard Liebsch, Bochum
BR Boris Rähme, Berlin
BS Berthold Suchan, Gießen
BZ Bernhard Zimmermann, Freiburg
CA Claudia Albert, Berlin
CH Cornelia Haas, Würzburg
CHA Christoph Asmuth, Berlin
CHR Christa Runtenberg, Münster
CI Christian Iber, Berlin
CJ Christoph Jäger, Leipzig
CK Christian Kanzian, Innsbruck
CL Cornelia Liesenfeld, Augsburg
CLK Clemens Kauffmann, Lappersdorf
CM Claudius Müller, Nehren
CO Clemens Ottmers, Tübingen
CP Cristina de la Puente, Stuttgart
CS Christian Schröer, Augsburg
CSE Clemens Sedmak, Innsbruck
CT Christian Tewes, Jena
CZ Christian Zeuch, Münster
DG Dorothea Günther, Würzburg
DGR Dorit Grugel, Münster
DH Detlef Horster, Hannover
DHB Daniela Hoff-Bergmann, Bremen
DIK Dietmar Köveker, Frankfurt a.M.
DK Dominic Kaegi, Luzern
DKÖ Dietmar Köhler, Witten
DL Dorothea Lüddeckens, Zürich
DP Dominik Perler, Berlin
DR Dane Ratliff, Würzburg und Austin/Texas
EE Eva Elm, Berlin
EJ Eva Jelden, Berlin
EF Elisabeth Fink, Berlin
EM Ekkehard Martens, Hamburg
ER Eberhard Rüddenklau, Staufenberg
EWG Eckard Wolz-Gottwald, Davensberg
EWL Elisabeth Weisser-Lohmann, Bochum
FBS Franz-Bernhard Stammkötter, Bochum
FG Frank Grunert, Basel
FPB Franz-Peter Burkard, Würzburg
FW Fabian Wittreck, Münster
GK Georg Kneer, Leipzig
GKB Gudrun Kühne-Bertram, Ochtrup
GL Georg Lohmann, Magdeburg
GM Georg Mildenberger, Tübingen
GME Günther Mensching, Hannover
GMO Georg Mohr, Bremen
GN Guido Naschert, Tübingen
GOS Gottfried Schwitzgebel, Mainz
GS Georg Scherer, Oberhausen
GSO Gianfranco Soldati, Tübingen
HB Harald Berger, Graz
HD Horst Dreier, Würzburg
HDH Han-Ding Hong, Düsseldorf
HG Helmut Glück, Bamberg
HGR Horst Gronke, Berlin
HL Hilge Landweer, Berlin
HND Herta Nagl-Docekal, Wien
HPS Helke Pankin-Schappert, Mainz
HS Herbert Schnädelbach, Berlin
IR Ines Riemer, Hamburg
JA Johann S. Ach, Münster
JC Jürgen Court, Köln
JH Jörg Hardy, Münster
JHI Jens Hinkmann, Bad Tölz
JK Jörg Klawitter, Würzburg
JM Jörg F. Maas, Hannover
JOP Jeff Owen Prudhomme, Macon/Georgia
JP Jörg Pannier, Münster
JPB Jens Peter Brune
JQ Josef Quitterer, Innsbruck
JR Josef Rauscher, Mainz
JRO Johannes Rohbeck, Dresden
JS Joachim Söder, Bonn
JSC Jörg Schmidt, München
JV Jürgen Villers, Aachen
KDZ Klaus-Dieter Zacher, Berlin
KE Klaus Eck, Würzburg
KG Kerstin Gevatter, Bochum
KH Kai-Uwe Hellmann, Berlin
KHG Karl-Heinz Gerschmann, Münster
KHL Karl-Heinz Lembeck, Würzburg
KJG Klaus-Jürgen Grün, Frankfurt a.M.
KK Klaus Kahnert, Bochum
KRL Karl-Reinhard Lohmann, Witten
KS Kathrin Schulz, Würzburg
KSH Klaus Sachs-Hombach, Magdeburg
LG Lutz Geldsetzer, Düsseldorf
LR Leonhard Richter, Würzburg
MA Mauro Antonelli, Graz
MB Martin Beisler, Gerbrunn
MBI Marcus Birke, Münster
MBO Marco Bonato, Tübingen
MD Max Deeg, Cardiff
MDB Matthias Bloch, Bochum
ME Michael Esfeld, Münster
MFM Martin F. Meyer, Koblenz/Landau
MK Matthias Kunz, München
MKL Martin Kleinsorge, Aachen
MKO Mathias Koßler, Mainz
ML Mark Lekarew, Berlin
MLE Michael Leibold, Würzburg
MM Matthias Maring, Karlsruhe
MN Marcel Niquet, Frankfurt a.M.
MQ Michael Quante, Köln
MR Mathias Richter, Berlin
MRM Marie-Luise Raters-Mohr, Potsdam
MS Manfred Stöckler, Bremen
MSI Mark Siebel, Hamburg
MSP Michael Spang, Ellwangen
MSU Martin Suhr, Hamburg
MW Markus Willaschek, Münster
MWÖ Matthias Wörther, München
NM Norbert Meuter, Berlin
OB Oliver Baum, Bochum
OFS Orrin F. Summerell, Bochum
PE Peter Eisenhardt, Frankfurt a.M.
PCL Peter Ch. Lang, Frankfurt a.M.
PK Peter Kunzmann, Jena
PN Peter Nitschke, Vechta
PP Peter Prechtl †
RD Ruth Dommaschk, Würzburg
RDÜ Renate Dürr, Karlsruhe
RE Rolf Elberfeld, Hildesheim
REW Ruth Ewertowski, Stuttgart
RH Reiner Hedrich, Gießen
RHI Reinhard Hiltscher, Stegaurach
RK Reinhard Kottmann, Münster
RL Rudolf Lüthe, Koblenz
RLA Rolf-Jürgen Lachmann, Berlin
RM Reinhard Mehring, Berlin
RP Roland Popp, Bremen
RS Regina Srowig, Würzburg
RTH Robert Theis, Strassen
RW Raymund Weyers, Köln
SD Steffen Dietzsch, Berlin
SIK Simone Koch, Bochum
SP Stephan Pohl, Dresden
SZ Snjezana Zoric, Würzburg
TB Thomas Bausch, Berlin
TBL Thomas Blume, Dresden
TF Thomas Friedrich, Mannheim
TG Thomas Grundmann, Köln
TH Thomas Hammer, Frankfurt a.M.
TK Thomas Kisser, München
TM Thomas Mormann, Unterhaching
TN Thomas Noetzel, Marburg
TP Tony Pacyna, Jena
TW Thomas Welt, Bochum
UB Ulrich Baltzer, München
UT Udo Tietz, Berlin
UM Ulrich Metschl, München/Leonberg
VG Volker Gerhardt, Berlin
VM Verena Mayer, München
VP Veit Pittioni, Innsbruck
VR Virginie Riant, Vechta
WAM Walter Mesch, Heidelberg
WB Wilhelm Baumgartner, Würzburg
WH Wolfram Hinzen, Bern
WJ Werner Jung, Duisburg
WK Wulf Kellerwessel, Aachen
WL Winfried Löffler, Innsbruck
WM Wolfgang Meckel, Butzbach
WN Wolfgang Neuser, Kaiserslautern
WP Wolfgang Pleger, Cochem/Dohr
WS Werner Schüßler, Trier
WST Wolfgang Struck, Erfurt
WSU Wolfgang Schulz, Tübingen
WvH Wolfram von Heynitz, Weiburg

Herausgegeben von Peter Prechtl (†) und Franz-Peter Burkard.

Partnerinhalte