Teilgebiet der formalen Logik zur logischen Untersuchung der Modalitäten wie Möglichkeit und Notwendigkeit. Verallgemeinernd lässt sich die M. auch als die logische Theorie der Modaloperatoren auffassen.

Historisch nimmt die M. ihren Anfang bei Aristoteles, wo sie in der peri hermeneias und bes. der an. pr. entwickelt wird. Eine Fortführung und Vereinfachung der modalen Syllogistik im Anschluss an Aristoteles geschieht durch dessen Schüler Theophrastus. Alternative Ansätze der antiken M. finden sich in der Logik der teilweise in eleatischer Tradition stehenden megarischen Schule sowie der daraus hervorgegangenen stoischen Logik, die wegen ihres quasipropositionalen Charakters Ähnlichkeit mit der modernen aussagenlogischen M. aufweist. Beiträge zur M. finden sich auch in der scholastischen Logik etwa bei Abälard, Wilhelm von Shyreswood und Albertus Magnus und bilden in den folgenden Epochen bis Leibniz einen festen Bestandteil logischer Untersuchungen.

Mit der Entstehung der modernen Logik im 19. Jh. ist zuerst keine M. verbunden. Als Beginn der modernen M. gelten die Untersuchungen C. I. Lewis über die sog. strikte Implikation. Diese waren von der Absicht geleitet, die wahrheitsfunktionale, materiale Implikation durch eine Aussageverknüpfung zu ersetzen, die anders als die materiale Implikation eine inhaltliche Folgerungsbeziehung ausdrückt. Die von Lewis für diese Zwecke vorgeschlagene strikte Implikation kann, wie Lewis selbst betonte, als eine notwendige materiale Implikation verstanden werden. Lewis entwickelte in Anlehnung an die axiomatische Darstellung der Logik in den Principia Mathematica von Whitehead und Russell fünf Systeme der strikten Implikation S1–S5 von aufsteigender Stärke, bei denen es sich bereits im Wesentlichen um Modalkalküle handelt. In der Folge wurde die strikte Implikation durch die dualen Modaloperatoren für Notwendigkeit □ und Möglichkeit ◊ ersetzt. Dies führte insbesondere durch die Arbeiten von G. H. v. Wright zu der noch heute üblichen axiomatischen Darstellung der M. Ein modallogisches System Σ ist dabei durch eine Menge von modallogischen Axiomen und Schlussregeln auf einer nicht-modalen, häufig klassisch-logischen Basis charakterisiert. Für die Zwecke der M. selbst, ohne Anwendungsabsichten genügt in der Regel eine Beschränkung auf die Aussagenlogik. Einige bekannte Axiome lauten schematisch:

K: □(A → B) → (□A → □B)

(wenn notwendigerweise: wenn A, dann B, dann, wenn notwendigerweise A, dann notwendigerweise B)

T: □A → A

(wenn notwendigerweise A, dann A)

B: A → □◊A

(wenn A, dann ist es notwendigerweise möglich, dass A)

4: □A → □□A

(wenn notwendigerweise A, dann ist es notwendig, dass notwendigerweise A)

5: ◊A → □◊A

(wenn möglicherweise A, dann ist es notwendigerweise möglich, dass A)

W: □(□A → A) → □A

(wenn notwendigerweise, dass, wenn notwendigerweise A, dann A, dann notwendigerweise A)

An modalen Schlussregeln gebräuchlich ist v.a. die sog. Notwendigkeitsregel RN: A/□A. Weitere Regeln sind RM: A → B/□A → □B oder RE: A ↔ B/□A ↔ □B.

Vornehmlich aufgrund semantischer Betrachtungen stehen solche modallogischen Systeme im Mittelpunkt des Interesses, die auf der Basis der klassischen Logik durch Hinzunahme der Axiome des Schemas K (sowie eventuell weiterer modaler Axiome) und der Notwendigkeitsregel entstehen. Diese werden als normale Modalsysteme bezeichnet. In einer auf E. J. Lemmon zurückgehenden Nomenklatur können solche Systeme durch Angabe ihrer charakteristischen Axiome bezeichnet werden (z.B. ist KTB dasjenige normale System, das durch die Axiome K, T und B charakterisiert ist). Das Lewis’sche System S5 erweist sich bei dieser Darstellung als äquivalent zu KT5, das wiederum identisch ist mit KTB4. Das schwächere System S4 von Lewis entspricht dem System KT4. Neuerdings von Interesse ist das System KW, das eine modallogische Darstellung der für die Gödel’schen Unvollständigkeitsresultate zentralen Begriffe ermöglicht. Das anschaulich undurchsichtige Schema W stellt dabei die modallogische Version eines aus der Beweistheorie bekannten Theorems von M. Löb dar. KW verdeutlicht, dass die M. in ihren Einsichten nicht an die Vorgaben eines intuitiven Verständnisses der Modalitäten gebunden bleibt.

Eine dem syntaktischen Zugang entsprechende semantische Darstellung der M. gelang anfänglich nur für bestimmte modallogische Systeme mit algebraischen Methoden. Wichtige Ergebnisse aus dieser Richtung stammen insbesondere von J. C. C. McKinsey und A. Tarski (teilweise in Zusammenarbeit mit weiteren Autoren) und sind in Verbindung mit modallogischen Entscheidbarkeitsfragen zu sehen. Die dabei entstandenen sog. modalen Algebren sind formal Boole’sche Algebren mit einer zusätzlichen Operation zur Interpretation des Notwendigkeitoperators (bzw. Möglichkeitsoperators), die etwa im Falle von Erweiterungen von S4 topologische Strukturen bestimmen. Die Bedeutung modaler Algebren ergibt sich aus einer 1951 von Tarski und B. Jónsson aufgestellten Verallgemeinerung des Darstellungssatzes für Boole’sche Algebren von M. Stone auf Algebren mit Operatoren. Dies führte in den letzten Jahren zu aufschlussreichen Anwendungen algebraischer Methoden in der modelltheoretischen Semantik der M. Mit der Entwicklung der modelltheoretischen Semantik trat die algebraische Semantik jedoch vorerst in den Hintergrund. Eine erste Darstellung dieser Art gelang durch R. Carnap 1947 für das System S5 mit der Einführung sog. Zustandsbeschreibungen (Intensionale Semantik). Im Rahmen der Aussagenlogik können diese als aussagenlogische Bewertungen verstanden werden. Dies führt zu der Darstellung von Notwendigkeit als Wahrheit unter allen Bewertungen (relativ zu einer Klasse von Zustandsbeschreibungen) und sichert die Gültigkeit der S5-Theoreme. Inhaltlich greift Carnap damit eine Formulierung von Leibniz auf, wonach Notwendigkeit Wahrheit in allen möglichen Welten bedeutet. Die Verallgemeinerung dieses Vorschlags für weitere modallogische Systeme gelang durch S. Kripke Anfang der sechziger Jahre. Ähnliche Überlegungen wurden unabhängig davon und etwa zeitgleich durch S. Kanger und J. Hintikka veröffentlicht. Der wesentliche Aspekt dieser Verallgemeinerung ist die Einführung einer zweistelligen Relation R, der sog. Zugänglichkeitsrelation, zwischen möglichen Welten, die ihrerseits die Carnap’schen Zustandsbeschreibungen verallgemeinern. Durch die Zugänglichkeitsrelation R wird jeder möglichen Welt w die Menge der von w ›erreichbaren‹ oder ›einsehbaren‹ Welten zugeordnet. Eine Aussage A ist notwendig wahr in einer Welt w dann und nur dann, wenn A wahr ist in allen von w erreichbaren Welten w'. Für die formale Ausarbeitung dieses Gedankens werden sog. relationale Kripke-Modelle M = definiert als Tripel, bestehend aus einer nicht-leeren Menge W von möglichen Welten, einer zweistelligen Relation R auf der Menge der möglichen Welten und einer Bewertungsfunktion V, die jeder Aussagenvariable p aus der betrachteten Sprache für jede Welt w einen Wahrheitswert V(w,p) zuordnet. Die semantische Grundrelation »A ist wahr in der Welt w (in dem Modell M)« – M⊨_w A – kann auf der Grundlage der Bewertungsfunktion V wie folgt definiert werden:

(i) für Aussagenvariablen p: M⊨_w p gdw V(w,p) = W

(ii) für A = ¬B: M⊨_w ¬B gdw nicht M⊨_w B

(iii) für A = B ∧ C: M⊨_w B ∧ C gdw M⊨_w B und M⊨_w C und analog für ˅, →, ↔,

(iv) für A = □B: M⊨_w □B gdw für alle w' mit wRw': M⊨_w' B.

Weitere semantische Begriffe wie Gültigkeit oder Folgerung lassen sich im Anschluss daran in der üblichen Weise definieren. Da z.B. im Rahmen sog. Vollständigkeitsbetrachtungen, die zeigen, dass jede in einer Klasse K von Kripke-Modellen gültige Formel in einem bestimmten normalen System Σ ableitbar ist, die Bewertungsfunktion beliebig gewählt werden kann, ist es zweckmäßig, sog. modale Rahmen (engl. frames) zu betrachten, die unter Verzicht auf die Bewertungsfunktion V die relationale Struktur der Kripke-Modelle festlegen. Für die Entwicklung der M. bedeutsam war die Frage, welche Relationsbedingungen welchen modalen Axiomen entsprechen. Bekannte Resultate diesbezüglich sind Z.B.

– T: □A → A ist gültig in einem modalen Rahmen gdw R reflexiv ist

– 4: □A → □□A ist gültig in einem modalen Rahmen gdw R transitiv ist

– B: A → □◊A ist gültig in einem modalen Rahmen gdw R symmetrisch ist.

Inzwischen sind jedoch Beispiele modaler Formeln bekannt, die keinen relationalen Bedingungen entsprechen. Da diese relationalen Bedingungen in einer quantorenlogischen Sprache erster Stufe definierbar sind, wurde daraus der Schluss gezogen, dass die M. im Kern eine Logik zweiter Stufe ist. Überraschend war weiterhin die Entdeckung modaler Systeme, die durch keine Klasse modaler Rahmen charakterisierbar sind. Diese werden als unvollständige Modalsysteme bezeichnet. Die Untersuchungen sowohl über die Korrespondenz von modalen Formeln und relationalen Bedingungen als auch über die Charakterisierbarkeit modaler Systeme durch Klassen von Modellen oder Rahmen haben aufgrund der dabei verwendeten modelltheoretischen Methoden zu einer Wiederbelebung der algebraischen Tradition geführt.

Relationale Kripke-Modelle erlauben Verallgemeinerungen, die auch die semantische Darstellung nichtnormaler Modalsysteme ermöglichen. So lassen sich in die Menge der möglichen Welten auch sog. nichtnormale Welten einführen, in denen die Gesetze der Logik nicht mehr als notwendig wahr gelten. Von R. Montague und D. Scott wurden zudem sog. umgebungssemantische Modelle vorgeschlagen, die grob formuliert die Zugänglichkeitsrelation zwischen Welten ersetzen durch eine Zugänglichkeitsrelation R zwischen möglichen Welten und Mengen von möglichen Welten. Eine Aussage ist dabei notwendig in einer Welt w dann und nur dann, wenn w in der Relation R steht zu der Menge aller möglichen Welten, in denen A wahr ist.

Prinzipiell können die in der Aussagenlogik beschriebenen modallogischen Begriffe und Techniken auf die Prädikatenlogik übertragen werden. Besondere Bedeutung kommt in der modalen Prädikatenlogik der sog. Barcan-Formel (nach R.Barcan)

\begin{eqnarray}\forall \text{x}\square \text{A}\to \square \forall \text{xA}\end{eqnarray}

Philosophisch ist die M. aus mehreren Gründen bedeutsam. In ihrer semantischen Ausprägung lieferte sie den Kernbereich der intensionalen Semantik und damit einen wichtigen Beitrag zur logischen Sprachanalyse. Gleichzeitig trug die modale Prädikatenlogik mit den anschaulichen Schwierigkeiten möglicher Individuen zu einer Wiederbelebung metaphysischer Themen im Rahmen der analytischen Philosophie bei. Darüber hinaus verdient die M. aber v.a. deshalb Beachtung, weil sie mit der Behandlung nicht-wahrheitsfunktionaler logischer Konstanten eine Erweiterung der klassischen Logik und der durch diese ausgewiesenen logischen Zusammenhänge versucht. So betrachtet fügt sich die M. in die historische Entwicklung der Logik, in der es immer wieder zu Erweiterungen des Logikbegriffs kam. Auch innerhalb der M. ist eine derartige Entwicklung erkennbar, wo inzwischen auch sog. polymodale Logiken, mit weiteren Modaloperatoren, und mehrdimensionale M.en, bei denen die möglichen Welten durch Folgen von möglichen Welten ersetzt werden, Gegenstand der Forschung sind.

Literatur:

• J. van Benthem: Classical and Modal Logic. Napoli 1985
• G. Boolos: The Unprovability of Consistency. Cambridge 1979
• B. Chellas: Modal Logic. An Introduction. Cambridge 1980
• D. Gabbay/F. Guenthner (Hg.): Handbook of Philosophical Logic. Vol. II. Dordrecht 1984
• G. Hughes/M. Cresswell: An Introduction to Modal Logic. London ²1972
• G. Hughes/M. Cresswell: A Companion to Modal Logic. London 1984
• Diess.: A New Introduction to Modal Logic. London 1996
• W. Rautenberg: Klassische und Nichtklassische Aussagenlogik. Braunschweig 1979.

UM