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Lexikon der Physik: Arbeit

Arbeit, Bezeichnung für einen Begriff, der sich aus den Begriffen Kraft und Bahn (bzw. Weg) ableitet und in enger Beziehung zum Energiebegriff steht. Die SI-Einheit der Arbeit ist das Joule (J). (Energieeinheiten)

1) Mechanik: Wird ein Massenpunkt unter Aufwendung einer Kraft längs eines Weges verschoben, so wird hierbei Arbeit verrichtet. Die mathematische Definition der Arbeit ist

, wobei F den Vektor der Kraft bezeichnet und dr das infinitesimale Element des Weges C, entlang dessen die Kraft wirkt. Man kann sagen, Arbeit sei das Wegintegral der Kraft. Arbeit wird im physikalischen Sinne nur von der Komponente der Kraft F verrichtet, die zum Wegelement dr parallel gerichtet ist. Aus dieser Definition folgt, daß eine Kraft, die einen Massepunkt nicht verschiebt (dr = 0), keine Arbeit leistet, und daß auch auf Wegen, die senkrecht zur Kraft verlaufen, keine Arbeit verrichtet wird.

Verläuft der Weg C im Spezialfall geradlinig und greift die Kraft stets im gleichen Winkel α an, dann wird aus dem Integral einfach das Skalarprodukt

W = F · Δr = FΔrcos(α).

Das Vorzeichen der Arbeit ist so festgelegt, daß bei positivem W die Kraft selber Arbeit verrichtet, während bei negativem W gegen die Kraft Arbeit aufgewendet werden muß.

Der Zusammenhang zwischen Arbeit und Energie wird u.a. am Beipiel der Beschleunigungsarbeit deutlich. Wenn r(t) die Bahnkurve des Schwerpunktes eines Körpers der Masse m ist, so muß zur Beschleunigung des Körpers gemäß der dynamischen Grundgleichung die Kraft

aufgebracht werden, und für die Arbeit, die nötig ist, um den Körper von einer Geschwindigkeit

1 auf eine Geschwindigkeit v2 zu beschleunigen, ergibt sich



,

wobei Ekin,2 – Ekin,1 die Änderung der kinetischen Energie ist.

Die explizite Angabe des Weges ist im allgemeinen notwendig und kann nur dann fortgelassen werden, wenn die Arbeit in eindeutiger Weise nur vom Anfangs- und Endpunkt der Bewegung abhängt. Kraftfelder, für die dies gilt, werden als konservativ bezeichnet, und für sie läßt sich eine potentielle Energie

angeben. Die Arbeit für die Bewegung eines Massenpunktes von r1 nach r2 ist dann einfach die Potentialdifferenz zwischen diesen beiden Punken:

, und längs eines beliebigen geschlossenen Weges verschwindet sie:

.

Die an einem physikalischen System in einem konservativen Kraftfeld verrichtete Arbeit wird in dem System als potentielle Energie gespeichert und kann anschließend als kinetische Energie wieder freigesetzt werden: So muß z.B. beim elastischen Dehnen einer Feder mit der Federkonstanten k um die Strecke x die der Bewegung entgegenwirkende Rückstellkraft kx überwunden werden. Dabei wird die Spannarbeit kx2/2 geleistet, die als potentielle Energie in der Feder gespeichert und beim Entspannen wieder zurückgewonnen wird.

Ein anderes Beipiel sind Bewegungen im Gravitationsfeld der Erde, bei dem es sich ebenfalls um ein konservatives Kraftfeld handelt. Wird ein Körper der Masse m in diesem Feld auf einem beliebigen Weg auf die Höhe h gehoben, so ist dazu die Hubarbeit W = F · h = mgh nötig. Diese Arbeit ist nicht verloren, der Körper hat vielmehr potentielle Energie Epot gewonnen (man spricht auch von Lageenergie), die genau der Hubarbeit entspricht. Fällt der Körper zurück auf die Ausgangshöhe, so erreicht er dort die Geschwindigkeit

(Fallgesetze) und besitzt jetzt die kinetische Energie

(Reibung sei hier außer acht gelassen).

Die für konservative Kraftfelder charakteristische Umwandlung von potentieller Energie in kinetische Energie und umgekehrt führt zum Energieerhaltungssatz der Mechanik. In realen Systemen spielen neben konservativen Kräften auch dissipative Kräfte (Reibung) und zeitabhängige Kräfte eine Rolle.

Für den Begriff der Arbeit ist die Zeit, während der die Arbeit verrichtet wird, unerheblich. Trotzdem kann es sinnvoll sein, die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit zu betrachten. Der Begriff, der dann ins Spiel kommt, ist die Leistung.

2) Elektrodynamik: Die Kraft auf eine Ladung in einem elektromagnetischen Feld berechnet sich zu

. Das Magnetfeld B verrichtet keine Arbeit an der Ladung, da der entsprechende Kraftanteil stets senkrecht zur Bewegungsrichtung der Ladung steht. Da das elektrische Feld E konservativ ist, also gemäß

auf ein Potential φ zurückgeführt werden kann, ergibt sich der allgemeine Ausdruck für die Arbeit der Bewegung einer Ladung im elektromagnetischen Feld als Produkt aus Ladung und Potentialdifferenz U:



Die elektrische Arbeit für den Fall stationärer Ströme folgt daraus zu

, wobei

die elektrische Stromstärke und t die Dauer des Stromflusses ist. Allgemein ist die Arbeit eines beliebig zeitabhängigen elektrischen Stroms

; dies vereinfacht sich für harmonische Wechselspannungen

und

zu

.

3) Thermodynamik: In der Thermodynamik wird der Kraftbegriff erweitert. Die verallgemeinerten Kräfte Xi werden analog zur Mechanik gemäß

definiert,

wobei die xj äußere Parameter des Systems wie z.B. das Volumen, die Teilchenzahl des Systems oder ein äußeres Feld sind. Die bei einer infinitesimalen Änderung des Parameters xi geleistete Arbeit ist dann

, die Energieänderung dE beträgt entsprechend dem ersten Hauptsatz

, in dem Q für die Wärme steht. Thermodynamisch kann die an einem System geleistete Arbeit also als Energieänderung durch Änderung der äußeren Parameter bei gleichzeitiger thermischer Isolierung, also bei konstantem Wärmeinhalt des Systems, definiert werden. Die Arbeit ist, gleich der Wärme eines Prozesses, im allgemeinen vom Weg des Prozesses im Raum der äußeren Parameter abhängig; sie stellt somit keine Zustandsfunktion dar, mit der man den Gleichgewichtszustand des Systems charakterisieren kann. Dementsprechend ist die Größe

, durch den Querstrich am Differentialsymbol gekennzeichnet, kein vollständiges Differential.

Der einfachste, zugleich auch der wichtigste Fall thermodynamischer Arbeit ist die Volumenänderungsarbeit, also die Arbeit, die bei einer Volumenänderung dx = dV gegen den Druck X = p verrichtet werden muß. Das thermodynamische System nimmt dabei bei quasistatischer Prozeßführung die Arbeit

= pdV auf.

Ein anderes Beispiel für Arbeit im thermodynamischen Sinne ist diejenige, die ein elektrisches Feld bei der Polarisation eines Dielektrikums leistet. Sie hängt davon ab, welche Energieanteile man dem thermodynamischen System zurechnet. Es ergibt sich

, wobei V das Volumen, E das elektrische Feld und D die dielektrische Verschiebung sind. In diesem Ausdruck ist sowohl der Energieanteil für die Polarisation des Mediums als auch derjenige für das elektrische Feld (im Vakuum) enthalten. Vernachlässigt man die Feldenergie, so ergibt sich wegen

die reine Polarisationsarbeit zu

, wobei P für die Polarisation steht. Welcher Energieausdruck zu verwenden ist, hängt von der Fragestellung und der gegebenen experimentellen Situation ab.

Bei der Angabe der Arbeit, die ein Magnetfeld der Stärke H an einem magnetisierbaren Medium verrichten muß, um die Magnetisierung M aufzubauen, ist die Situation analog: Wird die Feldenergie mitberücksichtigt, so gilt

. Bei Vernachlässigung der Feldenergie erhalten wir die reine Magnetisierungsarbeit zu

, weil

, wobei B die magnetische Induktion ist. Der Energieanteil des magnetischen Feldes spielt beim magnetokalorischen Effekt und der adiabatischen Entmagnetisierung eine entscheidende Rolle.

4) Quantenmechanik: Da der Arbeitsbegriff fest mit dem Kraftbegriff und mit dem Bahnbegriff verbunden ist, spielt er in der Quantenmechanik keine wesentliche Rolle, denn diese beiden Termini werden in der Quantenmechanik weitgehend aufgegeben. Man spricht lediglich z.B. etwas unpräzise von der Austrittsarbeit von Elektronen aus dem Atomverband.



Arbeit 1: Zur Arbeit bei der Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld.



Arbeit 2: Zur Arbeit bei der Expansion eines Gases durch die Bewegung eines Kolbens.

Copyright 1998 Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

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Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22; Essay Datenverarbeitungssysteme künftiger Hochenergie- und Schwerionen-Experimente)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09; Essay Akustik)
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Maritha Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Christopher Monroe, Boulder, USA [CM] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Regensburg [NN] (A) (05)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06; Essay Analytische Mechanik)
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Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14; Essay Allgemeine Relativitätstheorie)
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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29)
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Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33; Essay Optische Erscheinungen der Atmosphäre)
Dr. Christian Eurich, Bremen [CE] (A) (Essay Neuronale Netze)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
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Florian Herold, München [FH] (A) (20)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
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Dr. Catherine Journet, Stuttgart [CJ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen, [JK] (A) (04; Essay Numerische Methoden in der Physik)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15; Essay Quantengravitation)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Dr. Uwe Klemradt, München [UK1] (A) (20, Essay Phasenübergänge und kritische Phänomene)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
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Dr. Berndt Koslowski, Ulm [BK] (A) (Essay Ober- und Grenzflächenphysik)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Jens Kreisel, Grenoble [JK2] (A) (20)
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Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
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Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Andrea Quintel, Stuttgart [AQ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15; Essay Quantenmechanik und ihre Interpretationen)
Prof. Dr. Siegmar Roth, Stuttgart [SR] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Dr. Margit Sarstedt, Leuven, B [MS2] (A) (25)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Paul Steinhardt, Princeton, USA [PS] (A) (Essay Quasikristalle und Quasi-Elementarzellen)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
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Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
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Prof. Dr. Gerald 't Hooft, Utrecht, NL [GT2] (A) (Essay Renormierung)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
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Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
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Priv.-Doz. Dr. Jörg Zegenhagen, Stuttgart [JZ3] (A) (21; Essay Oberflächenrekonstruktionen)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
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Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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