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Lexikon der Physik: Bohrsche Theorie

Bohrsche Theorie, Theorie des Atombaus und der Natur der Spektrallinien (Atomhülle), die 1913 von Bohr aufgestellt wurde, um die Inkonsistenzen des Rutherfordschen Atommodells (Atommodelle) mit der klassischen Elektrodynamik zu umgehen. Gemäß dem Rutherfordschen Modell besteht das Atom aus einem als punktförmig angenommenen, positiv geladenen Kern, in dessen elektrostatischem Feld sich die Elektronen bewegen. Klassisch gesehen, müßten die Elektronen bei ihrer Bewegung um den Kern elektromagnetische Strahlung abgeben, so daß sie kontinuierlich kinetische Energie verlieren und schließlich in den Atomkern stürzen. Bohr beseitigte diese Inkonsistenzen dadurch, daß er die Existenz stabiler Zustände der Elektronen im Atom ad hoc postulierte. Die Bohrsche Theorie erweiterte das Rutherfordsche Modell durch heuristische Annahmen (Bohrsche Postulate):

a) Bohrsche Quantisierungsbedingung: Die Elektronen befinden sich in diskreten stationären Zuständen (auf erlaubten Bahnen), die durch die Bedingung festgelegt sind, daß der Bahndrehimpuls des Elektrons ein ganzzahliges Vielfaches des Planckschen Wirkungsquantums

ist (me: Masse des Elektrons):



,

und in denen sich die Elektronen strahlungsfrei bewegen können. Der Bahndrehimpuls des Elektrons im Kernfeld ist also "quantisiert".

b) Bohrsche Frequenzbedingung: Der Übergang von einer erlaubten Bahn der Energie En zu einer anderen der Energie Em erfolgt nicht kontinuierlich, sondern durch einen Quantensprung, wobei die Energiedifferenz zwischen den Zuständen in Form elektromagnetischer Strahlung emittiert bzw. absorbiert wird. Die Beziehung zwischen den Energien der stationären Zustände und den Frequenzen νnm der Spektrallinien ist dabei gegeben durch



.

c) Bohrsches Korrespondenzprinzip: Für große Quantenzahlen n, m geht die Frequenzbedingung in die klassische Umlauffrequenz

des Elektrons um den Kern über (

: Umlaufgeschwindigkeit).

Aus der klassischen elektrostatischen Gleichgewichtsbedingung zwischen der abstoßenden Zentrifugalkraft und der anziehenden Coulomb-Kraft eines Atomkerns der Kernladungszahl Z



und der Bohrschen Quantisierungsbedingung können die Radien und Energien der erlaubten Bahnen hergeleitet werden:





.

Dabei bedeuten a0 = 0,529177 · 10 - 10 m den Bohrschen Radius, e die Elementarladung und ε0 die Dielektrizitätskonstante des Vakuums (vgl. Abb.). Die Frequenz νnm der bei einem Übergang emittierten (n > m bzw. En > Em) oder absorbierten (Em > En) elektromagnetischen Strahlung ergibt sich nach der Bohrschen Frequenzbedingung zu:



.

Unter Anwendung des Korrespondenzprinzips oder durch direkten Vergleich mit der dem Rydberg-Ritzschen Kombinationsprinzip entsprechenden Serienformel kann aus diesem Ergebnis ein Ausdruck für die Rydberg-Konstante hergeleitet werden:



,

der ziemlich gut mit dem aus dem Wasserstoffspektrum bestimmten Wert übereinstimmt. Quantitative Übereinstimmung erhält man, wenn auch die Mitbewegung des Atomkerns (Protons) berücksichtigt wird.

Die Bohrsche Theorie beschreibt die Grobstruktur der Spektren des Wasserstoffatoms sowie der wasserstoffähnlichen Atome sehr gut und konnte einige bemerkenswerte Erfolge verzeichnen. Außer der Herleitung der Balmer-Formel und der Rydberg-Konstante gehören dazu die Identifikation der Pickering-Serie als Spektrum des He + -Ions sowie die Interpretation des Stark-Effekts, des Moseleysche Gesetzes und des Franck-Hertz-Versuchs.

Schließlich konnte Sommerfeld 1915/16 auch die im Spektrum des Wasserstoffs beobachtete Feinstruktur beschreiben, indem er sowohl die aus der Speziellen Relativitätstheorie folgende Geschwindigkeitsabhängigkeit der Elektronenmasse als auch elliptische Bahnen als mögliche stationäre Zustände der Elektronen in die Bohrsche Theorie integrierte (Bohr-Sommerfeldsche Theorie). Dafür verallgemeinerte er die Bohrsche Quantisierungsbedingung zu der Forderung, daß das Phasenintegral über zwei kanonisch konjugierte Variable p, q ein ganzzahliges Vielfaches von h sein sollte (Bohr-Sommerfeldsche oder Wilson-Sommerfeldsche Quantisierungsbedingung):



.

Diese Quantisierungsbedingung kann im Rahmen der Quantenmechanik mit Hilfe der WKB-Näherung deduziert werden. Die Charakterisierung der stationären Zustände erfolgt dann durch zwei Quantenzahlen, von denen die Hauptquantenzahl n die große Halbachse der Ellipse und die Nebenquantenzahl k = 1, . . . , n die kleine Halbachse bestimmt, so daß sich für n = k die Bohrschen Kreisbahnen ergeben. Da die Bahngeschwindigkeit für die elliptischen Bahnen nicht mehr konstant und etwas verschieden von der für Kreisbahnen ist, führt die Berücksichtigung der relativistischen Kinematik zu einer kleinen Aufspaltung der Energien zu Bahnen mit verschiedenem k, deren berechnete Werte sehr gut die beobachtete Feinstruktur des Wasserstoffspektrums wiedergeben. Die Anwendung der Bohr-Sommerfeldschen Theorie auf Atome mit mehreren Elektronen lieferte allerdings nur für die Alkaliatome, die in guter Näherung als Einelektronenatome aufgefaßt werden können, vergleichbar gute Ergebnisse. Dagegen ließen sich auf dieser Basis weder andere Atome mit mehreren Elektronen noch die chemische Bindung und die Molekülspektren verstehen. Hinzu kommt, daß die Bohrsche Theorie auch die Stabilität der Atome in Form der Modellannahme für die Existenz stationärer Zustände lediglich ad hoc postuliert, aber nicht in dem Sinn erklärt, daß die Stabilität aus der Theorie deduzierbar ist.

Aus heutiger Sicht nimmt die Bohrsche Theorie in dem Sinne ein Zwischenstadium zwischen klassischer Physik und Quantenmechanik ein, als sie von beiden gewisse Resultate übernimmt bzw. vorwegnimmt, letztlich aber mit beiden im Widerspruch steht: Einerseits widerspricht die Vorstellung strahlungsfreier Elektronenbahnen der klassischen Elektrodynamik, andererseits zeigen sich auch an verschiedenen Stellen Inkonsistenzen zur Quantenmechanik, von denen zwei als exemplarisch gelten können:

1) Gemäß der Bohrschen Quantisierungsbedingung ist der Bahndrehimpuls zwar quantisiert, im Unterschied zur Quantenmechanik wird er aber durch die Hauptquantenzahl n und nicht durch die Bahndrehimpulsquantenzahl l bestimmt; insbesondere verschwindet der Bahndrehimpuls des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoffatoms in der quantenmechanischen Betrachtung.

2) Im Widerspruch sowohl zu den Lösungen der Schrödinger-Gleichung als auch zur experimentellen Erfahrung steht die Tatsache, daß die Bohrsche Theorie ebene Bahnen der Elektronen im Zentralfeld des Kerns vorhersagt.

Der tiefere Grund für diese Inkonsistenzen ist das Festhalten der Bohrschen Theorie am klassischen Bahnbegriff für die Beschreibung der Elektronenbewegung, den die Quantenmechanik verwirft. Aufgrund dieser Inkonsistenzen kann es weder einen stetigen Übergang von der Bohrschen Theorie zur Quantenmechanik geben, wie man ihn beispielsweise mit gewissen Einschränkungen von der Newtonschen Mechanik zur Speziellen Relativitätstheorie konstruieren kann (abgeschlossene Theorie), noch kann die Bohrsche Theorie als Spezialtheorie für Einelektronensysteme in die Quantenmechanik integriert werden.

Ihre überragende Bedeutung liegt vielmehr darin, daß sie am Beginn eines Umdenkens in der Physik steht, das die Entwicklung in diesem Jahrhundert entscheidend geprägt hat. Die wichtigsten Erkenntnisse der Bohrschen Theorie – das sind insbesondere die Möglichkeit unstetiger, also sprunghafter Änderungen physikalischer Größen, die Existenz stationärer Elektronenzustände im Atom und die Zuordnung der Spektrallinien zu den Übergängen zwischen diesen stationären Zuständen – sind als Grundprinzipien für die Interpretation sämtlicher spektroskopischer Methoden der Atom-, Molekül- und Festkörperphysik zentraler Bestandteil der modernen Physik geworden. [MG1]



Bohrsche Theorie: Bahnradien und Energieniveaus.

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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
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Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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