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Lexikon der Physik: Boltzmann-Verteilung

Boltzmann-Verteilung, im engeren Sinne die Energieverteilung der Gasteilchen in einem klassischen idealen Gas, das sich im thermodynamischen Gleichgewicht befindet, in einem weiteren Sinne die Besetzungsverteilung eines physikalischen Systems im thermischen Gleichgewicht. Die Boltzmann-Verteilung für ein ideales Gas folgt unmittelbar aus der kanonischen Verteilung, wenn man sich vorstellt, daß für jedes Gasteilchen alle übrigen Gasteilchen ein Wärmebad bilden. Der Anteil n(E)dE der Teilchen mit einer Energie zwischen E und E + dE ist dann



,

wobei kB die Boltzmann-Konstante, T die absolute Temperatur, g(E)dE die Zustandsdichte bei der Energie E und C eine Normierungskonstante ist, die sich aus der Bedingung

ergibt. Für freie Gasteilchen ist E die kinetische Energie Ekin = m

2/2, und man erhält mit g(E)dE ˜

2d

˜ E1/2dE die Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung. Verwendet man die potentielle Energie im homogenen Schwerefeld Epot = mgh, ergibt sich die barometrische Höhenformel. Die Boltzmann-Verteilung gilt stenggenommen nur für klassische ideale Gase, d.h. für Gase,

a) die mit der klassischen Maxwell-Boltzmann-Statistik statt mit der Quantenstatistik (Bose-Einstein, Fermi-Dirac) beschrieben werden können und

b) bei denen es keine Wechselwirkung zwischen den Gasteilchen gibt.

Im Bereich mit EkBT, dem "hochenergetischen Schwanz", stellt sie allerdings auch für die quantenstatistischen Verteilungen sowie für reale Gase und Lösungen ein gute Näherung dar. Da man häufig am Anteil der Teilchen oberhalb einer bestimmten, hohen Energie interessiert ist – physikalische Effekte werden am ehesten von Teilchen hoher Energie bewirkt – hat die Boltzmann-Verteilung praktisch universelle Gültigkeit. So haben die Richardson-Gleichung für den Glühemissionsstrom als Funktion der Temperatur – hier ist für E die Austrittsarbeit einzusetzen – und das Wiensche Strahlungsgesetz als Grenzfall des Planckschen Strahlungsgesetzes für hνkBT beide die Form y = C exp ( – E/kBT), obwohl streng genommen im ersten Fall das Elektronengas nach der Fermi-Dirac-Statistik und im zweiten Fall das Photonengas nach der Bose-Einstein-Statistik beschrieben werden muß. Bei chemischen Reaktionen erhält man, wenn man für E die Aktivierungsenergie einsetzt, das Arrhenius-Gesetz für die Temperaturabhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit. Die Temperaturabhängigkeit der Gleichgewichtskonstante kann man dagegen berechnen, wenn man für E die Reaktionsenthalpie verwendet.

Bei einem quantenmechanischen System mit mehreren möglichen diskreten Energiezuständen Ei , das der klassischen Statistik gehorcht, ist die Wahrscheinlichkeit, es im Zustand mit der Energie Ei zu finden, gegeben durch:



,

wobei gi die statistischen Gewichte der einzelnen Zustände sind. Durch sie wird berücksichtigt, daß verschiedene Zustände auch bei gleicher Energie unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten haben können. α ist ein Normierungsfaktor, der berücksichtigt, daß die Summe über die Besetzungswahrscheinlichkeiten aller Zustände 1 ergeben muß. Die Boltzmann-Verteilung beschreibt dann z.B. die Verteilung von Atomen und Molekülen auf die möglichen Eigenzustände. In diesem Fall wäre das statistische Gewicht die Anzahl der entarteten Unterzustände des betreffenden Zustands, normiert auf die Gesamtzahl von Unterzuständen des Systems.

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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
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Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33; Essay Optische Erscheinungen der Atmosphäre)
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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
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Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
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Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
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Dr. Andrea Quintel, Stuttgart [AQ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Prof. Dr. Siegmar Roth, Stuttgart [SR] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
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Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
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Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
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Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
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Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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