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Lexikon der Physik: Bruchmechanik

Bruchmechanik, im weiteren Sinn die Gesamtheit der mechanischen Brucherscheinungen und ihrer physikalischen Grundlagen, die auf mikroskopische, makroskopische und skaleninvariante Effekte zurückzuführen sind, im engeren Sinn das Arbeitsgebiet, das sich mit dem Verhalten von rißbehafteten Festkörpern befaßt. Hauptgegenstand ist die Ermittlung der Widerstandsfähigkeit der rißbehafteten Materialien gegen Spannungseinwirkung.

Mikroskopisch gesehen kommt es zur Bruchbildung, wenn die durch die äußere Belastung im Material hervorgerufene Spannungsenergie pro Fläche die Kohäsionsenergie εK pro Fläche (sog. Brucharbeit) übersteigt. Setzt man für erstere in grober Näherung das Hookesche Gesetz an, ergibt sich

als Abschätzung der theoretischen maximalen Zugfestigkeit σmax eines Materials (E ist der Elastizitätsmodul, d die maximale Längendeformation des Bindungsabstandes beim Reißen, die in der Größenordnung der interatomaren Abstände liegt). Setzt man die Kohäsionsenergie εK gleich der Oberflächenenergie γ des Festkörpers (εK = γ), kann man für σmax leicht Schätzwerte aus tabellierten Werten erhalten (für Glas z.B. ist σmax ≈ 1,3 · 104MPa). Der praktisch erreichte Wert, die sog. Zugfestigkeit σZ, liegt jedoch wesentlich niedriger (für Glas bei σZ = 0,3-1,7 · 102MPa). Eine bessere Übereinstimmung zwischen Theorie und Experiment ergibt sich, wenn man die folgenden zwei Effekte berücksichtigt:

1) Es kann im Bereich schon bestehender Risse zu Spannungskonzentrationen kommen (Abb. 1). Die Berechnung des Spannungsverlaufes bei gegebener Form eines Werkstückes einschließlich Öffnungen und Rissen ist eine Aufgabe der Elastizitätstheorie, die nur für Spezialfälle bzw. in Näherung lösbar ist. Bei langgestreckter elliptischer Öffnung (Länge l, Krümmungsradius an der Spitze r, lr) in homogenem Material gilt



, (1)

wobei σext die äußere Spannung (Belastung) ist und σ die davon hervorgerufene innere Spannung im Material. Für andere Geometrien ergibt sich prinzipiell das Gleiche (i.a. mit einem Formfaktor ungleich 2). Man kann daraus allgemein folgern:

a) In der Nähe einer beliebig scharfen Rißspitze ergibt sich eine

-Singularität für σ. Überschreitet die lokale Spannung den Maximalwert σmax, so kommt es zur Rißausbreitung. Dies zeigt sich experimentell z.B. bei sehr kleinen Proben aus Glas, bei denen asymptotisch σZσmax gilt, da sie beim Abkühlen zunehmend freier von Spannungsrissen usw. entstehen.

b) Die Größe

läßt sich für allgemeine Geometrien definieren und wird als Spannungsintensitätsfaktor bezeichnet. Aus Zugversuchen gewinnt man für K einen kritischen Wert KC, der zu Rißausbreitung und Materialbruch führt. Er wird Bruchzähigkeit des Materials genannt.

c) Weiterhin ergibt sich aus Gleichung (1) die schon aus der Alltagserfahrung bekannte Tatsache, daß eine Rißausbreitung ein instabiler, selbstverstärkender Prozeß ist, denn mit zunehmender Rißlänge l vergrößert sich auch die Spannung σ. Diese positive Rückkopplung erklärt auch die hohen Rißfortschrittgeschwindigkeiten von mehreren km/s, die in Festkörpern gemessen werden.

2) Die Bruchinstabilität ergibt sich auch aus einer Energiebetrachtung: Der Energieaufwand für die Bildung eines Risses ist proportional zur Anzahl der gerissenen Bindungen, also proportional zu l. Die freigesetzte Spannungsenergie ist das Produkt aus der elastischen Energiedichte

und dem Volumen des Risses, wobei dieses proportional zu l2 ist, denn mit der Länge des Risses nimmt auch dessen Weite zu. Es existiert also eine kritische Länge, ab der die freiwerdende Energie weiteren Rißfortschritt bewirkt. Diese sog. Griffith-Länge ergibt sich zu

. Sie ist konsistent mit der Maximallänge, die man aus (1) erhält, wenn man für σ den oben abgeschätzten Maximalwert σmax einsetzt und berücksichtigt, daß die kleinsten Werte für r von der Größenordnung der inneratomaren Abstände und damit von d sind.

Diese Überlegungen erlauben auch eine mikroskopische Sicht auf die wichtigsten Bruchtypen: Bei spröden Brüchen liegt keine nennenswerte Verformung vor, εK beträgt bei typischen Beispielen (Glas, Keramik) wenige J/m2, und KC liegt typisch bei 1MPa/m2. Bei zähen Brüchen (z.B. bei Kunststoffen und Metallen) sind die Verformungen beträchtlich (10%-30% für gute Stähle), KC ist um mindestens eine, εK um mehrere Größenordnungen größer als bei spröden Brüchen. Hauptgrund für diese Unterschiede ist, daß bei Metallen die Bindung über das Elektronengas größere Kristallbereiche erfaßt. Bei der Rißausbreitung reißen nicht nur die einzelnen Bindungen, sondern es kommt zu schrittweisen Versetzungsbewegungen ganzer Domänen (Abb. 2, Versetzungen). Bei zähen Brüchen liegt also eine tief unter die Oberfläche reichende Umstrukturierung des Materials vor, daher ist auch εKγ (anders als bei spröden Brüchen). Diese größere Kohäsionenergie ist dann die zweite Modifikation für die obige Abschätzung von σmax, und sie bewirkt im Gegensatz zu der ersten Modifikation, der Existenz von Spannungskonzentrationen, größere Zugfestigkeiten.

Neben der spröden und zähen ist noch die korrosive Rißausbreitung zu nennen, wo durch thermische, chemische oder photochemische Einwirkung Bindungen aufgelöst werden. Darüber hinaus gibt es auch Mischformen der genannten Mechanismen, wie z.B. Rißausbreitung in einem durch äußere Einwirkungen versprödeten Material. Obige allgemeine und vereinfachte Überlegungen zur Bruchmechanik sollten keineswegs über die wahre Kompliziertheit des Themas hinwegtäuschen: Noch ganz andere Mechanismen der Rißausbreitung herrschen in Polymeren und vielen Biomaterialen, und auch das völlig unterschiedliche Bruchverhalten gegen Zug- und Druckbelastung ist zu berücksichtigen, das Verbundmaterialien wie Stahlbeton auszeichnet. Wiederum andere Mechanismen liegen der Materialermüdung zugrunde. Des weiteren blieb bei den obigen Überlegungen die ausgeprägte Richtungsabhängigkeit der Bruchvorgänge in den meisten Materialien unberücksichtigt.

Das makroskopische Bruchverhalten wird durch die Lastverteilung und die geometrischen und stofflichen Eigenschaften von natürlichen und technischen Objekten im Ganzen bestimmt (z.B. das Einschnüren bei zugbelasteten Bauteilen). Dies wird insbesondere in der Baustatik und im Maschinenbau untersucht, aber auch in der Bionik, wo man z.B. Erkenntnisse über lastadaptives Wachstum von Bäumen an bruchgefährdeten Stellen auf technische Probleme anwendet. Aus der Vielfalt der physikalischen Erscheinungen sei ein Beispiel genannt: Beim Umstürzen von gesprengten Kaminen brechen diese oft etwa bei einem Drittel ihrer Höhe. Grund hierfür ist, daß längs der Kaminachse eine konstante Winkelbeschleunigung, aber verschiedene Vertikalbeschleunigungen auftreten. Das resultierende Biegemoment hat als Funktion der Kaminhöhe ein Maximum, das für Kamine mit konstantem Querschnitt gerade bei einem Drittel der Höhe liegt.

Skaleninvariante Aspekte der Bruchmechanik wurden in jüngerer Zeit in der fraktalen Natur von Bruchkanten und -flächen entdeckt. So erweisen sich Bruchflächen verschiedener Legierungen als Fraktale der Dimension Df ≈ 2,2. Praktische Anwendungen wie die Nutzung der Geometrie von Bruchflächen als visuelles Charakteristikum bruchmechanischer Kenngrößen werden untersucht. [AM2]



Bruchmechanik 1: Spannungsfeld und Materialinhomogenitäten (hier für eine elliptische Öffnung). Die Pfeile geben die Zugrichtung an. An Rissen kommt es zur Verdichtung von mechanischen Spannungslinien, ähnlich wie es bei Spitzen zur Verdichtung von elektrischen Feldlinien kommt. Auch ähnliche Methoden zur Berechnung der Felder werden in beiden Fällen verwandt, nämlich aus der Potential- und Funktionentheorie.



Bruchmechanik 2: Zähe Rißausbreitung durch Abgleitprozesse im Metall.

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Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
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Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06; Essay Analytische Mechanik)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
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Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
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Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
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Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
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Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
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Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
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Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
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Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
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Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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