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Lexikon der Physik: Debyesche Theorie der Wärmekapazität

Debyesche Theorie der Wärmekapazität, 1912 von P. Debye begründete Theorie der spezifischen Wärmekapazität von Festkörpern. Diese Theorie geht von einem vereinfachten Modell des Festkörpers aus, der als isotropes elastisches Medium angesehen wird, das elastische Schwingungen in einem Frequenzintervall 0 ≤ ωω0 ausführen kann. Die Debye-Grenzfrequenz ωD ist dabei die Anzahl 3 N r der möglichen Gitterschwingungen, also die Anzahl der Bewegungsfreiheitsgrade eines Kristalls mit N Elementarzellen und r Atomen in der Elementarzelle. Aus heutiger Sicht entspricht dies sehr einfachen Annahmen für das Phononenspektrum aus (Phononen, Gitterschwingungen): Als erste Grundannahme ersetzt das Modell alle Zweige des Schwingungsspektrums durch drei. Für jeden dieser drei wird für die Phononenfrequenz ω die gleiche lineare Dispersionsrelation ω = c · k angenommen (k: der Wellenzahlvektor der Phononen, c: mittlere Schallgeschwindigkeit im Kristall, Dispersionsrelationen). Das Modell beschreibt demzufolge im wesentlichen nur akustische Phononen, während optische Phononen in dieses Bild nicht sinnvoll eingeschlossen werden können. Die zweite Grundannahme des Debye-Modells ist die Annäherung des Volumens der Brillouin-Zone durch das einer Kugel gleichen Rauminhalts (Debye-Kugel) mit dem Radius kD (Debye-Radius). Um die korrekte Anzahl von Schwingungsmoden sicherzustellen, muß das Phononenspektrum bei einer maximalen Frequenz, der Debye-Grenzfrequenz ωD = c · kD, abgebrochen werden. Die Phononenzustandsdichte g(ω) im Debye-Modell erhält man aus



.

Hier ist (2π)3/V das Volumen eines Phononenzustands im k-Raum, V das Kristallvolumen und

das Volumen einer Kugelschale zwischen den Oberflächen k und k + dk; der Faktor 3 berücksichtigt die drei Zweige. Mit ω = c · k ergibt sich g(ω) zu



Die Gesamtenergie E der Gitterschwingungen ist

. Darin steht n(ω) für die Besetzungswahrscheinlichkeit eines Zustands mit der Energie

nach der Bose-Einstein-Verteilung. Unter Verwendung der Debye-Temperatur ΘD erhält man für den temperaturabhängigen Anteil von E:



mit

und kB als Boltzmann-Konstante. Die Wärmekapazität CV = ∂E/∂T ergibt sich somit zu



.

Für hohe Temperaturen (TΘD) tragen im Integranden nur sehr kleine x-Werte bei, so daß man ex entwickeln kann, woraus man schließlich das Dulong-Petitsche Gesetz cV = 3 R erhält (cV: molare spezifische Wärmekapazität, R: allgemeine Gaskonstante). Bei tiefen Temperaturen (T ≪ ςD) ist die obere Grenze groß, man kann daher ohne großen Fehler bis ∞ integrieren und erhält für das Integral den konstanten Wert 4π4/15. Für CV ergibt sich daraus



,

dies ist das experimentell gut bestätigte Debyesche T3-Gesetz.

Dieses Gesetz wird für sehr niedrige Temperaturen vom Experiment bestätigt und beschreibt das Verschwinden der spezifischen Wärmekapazität bei Annäherung an den absoluten Nullpunkt der Temperatur (Nernstsches Theorem). Die Debyesche Theorie der Wärmekapazität erweist sich als außerordentlich nützliche einparametrige (Debye-Temperatur) Interpolation zwischen den beiden Grenzfällen hoher und niedriger Temperaturen, die bei tieferen Temperaturen genauer verläuft als die Einsteinsche Theorie der spezifischen Wärmekapazität (Einstein-Modell). Größere Abweichungen treten bei Kristallen mit komplizierter, insbesondere mit stark anisotroper Kristallstruktur auf. In Metallen liefern die Elektronen einen zusätzlichen Beitrag zur spezifischen Wärmekapazität des Festkörpers.

Unterscheidet man die Beiträge, welche von den einzelnen akustischen Zweigen (transversale und longitudinale) zur spezifischen Wärmekapazität geliefert werden, so kann man ihnen im Modell des isotropen Kontinuums eigene Debye-Temperaturen θp (mit p = 1, 2, 3) zuordnen. Die optischen Schwingungen, die im Phononenspektrum als Peaks sichtbar werden, können durch eine δ-förmige Frequenzverteilung der Gitterschwingungen angenähert werden. Anisotrope Kristallstrukturen können approximativ durch richtungsabhängige Debye-Temperaturen erfaßt werden. Schwierigkeiten des Debyeschen Modells, dem eine Kontinuumsvorstellung des Festkörpers zugrunde liegt, werden erst durch ein quantenmechanisches Herangehen überwunden. [GR1, HW1]



Debyesche Theorie der Wärmekapazität: Zur Erläuterung des Debye-Modells.

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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
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Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
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Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
Dr. Dietrich Einzel, Garching [DE] (A) (20)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
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Florian Herold, München [FH] (A) (20)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Georg Hoffmann, Gif-sur-Yvette, FR [GH1] (A) (29)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
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Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen, [JK] (A) (04; Essay Numerische Methoden in der Physik)
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Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
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Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
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Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
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Prof. Dr. Karl von Meyenn, München [KVM] (A) (02)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
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Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
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Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15; Essay Quantenmechanik und ihre Interpretationen)
Prof. Dr. Siegmar Roth, Stuttgart [SR] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
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Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
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Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
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Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
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Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
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Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
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Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
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Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
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Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
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Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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