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Lexikon der Physik: Dispersionsrelation

Dispersionsrelation, Beziehung zwischen dem Realteil (Re) und dem Imaginärteil (Im) der (ins Komplexe fortgesetzten) Fourier-Transformierten g(ω) einer physikalischen Größe G(t). G(t) bzw. g(ω) können experimentell meßbare Größen sein (wie z.B. die komplexe frequenzabhängige Dielektrizitätskonstante ε(ω), Transportkoeffizienten der irreversiblen Thermodynamik oder energieabhängige Formfaktoren F(s), die Streuprozesse in der Elementarteilchenphysik beschreiben), aber auch nicht direkt meßbare Größen wie z.B. Streuamplituden in der Quantenmechanik bzw. Quantenfeldtheorie. Da oft sowohl Im g(ω) als auch Re g(ω) physikalische Bedeutung haben, spielen Dispersionsrelationen in vielen Gebieten der Physik, vor allem bei der Ausbreitung von Wellen in Substanzen, eine große Rolle.

Ausgangspunkt für Dispersionsrelationen sind im allgemeinen kausale Beziehungen zwischen einer Ursache U(t) und der zugehörigen Wirkung W(t) vom Typ der linearen Antwort (Linear Response)



,

wobei also der gesamte Verlauf von U in der Vergangenheit des Zeitpunktes t den jeweiligen Wert von W(t) bestimmt, oder, anders ausgedrückt, ein System mit einer Wirkung W linear auf eine Ursache U reagiert. Aus Gründen der Kausalität muß G(t) = 0 für t 0 gelten, da sonst die Ursache U zu Zeiten

zur Wirkung W zur Zeit t beitragen könnte. Aus dem angegebenen Zusammenhang zwischen W und U folgt durch Fourier-Transformation W(ω) = g(ω)U(ω) mit

. Die Funktion g(ω) kann in die obere (komplexe) ω-Halbebene fortgesetzt werden, wo

wegen t > 0 beschränkt und g(ω) daher holomorph ist. Verschwindet g(ω) für

so stark, daß das Integral über den Halbkreis mit

verschwindet, dann ergibt die Anwendung des Cauchyschen Integralsatzes



,

wobei das Symbol P bedeutet, daß der Hauptwert des Integrals zu nehmen ist (Cauchyscher Hauptwert). Daraus folgt aber



und



,

Real- und Imaginärteil von g(ω) sind also durch eine Hilbert-Transformation miteinander verknüpft. Diesen Zusammenhang bezeichnet man als Dispersionsrelation für g(ω). Häufig geht g(ω) für Im ω ≥ 0 nicht stark genug gegen Null, aber die Funktion

; dann gelten die abgeleiteten Relationen für f. Für g folgt dann



und entsprechend für Im g(ω). Man nennt diese Relationen einmal subtrahierte Dispersionsrelationen, ω0 den Subtraktionspunkt und g(ω0) die Subtraktionskonstante.

Dispersionsrelationen wurden zuerst in der Optik benutzt (Dispersion).

Dispersionsrelationen finden darüber hinaus weitgreifende Anwendung in der quantenmechanischen Streutheorie für den Real- und Imaginärteil der Streuamplitude. Auch hier gilt ein kausaler Zusammenhang: Zur Zeit t = 0 treffe ein Wellenpaket am Streuzentrum ein, von dem – unter Umständen mit einer Verzögerung – die Streuwelle emittiert wird; die Streuamplitude, als Funktion der komplexen Energievariablen, genügt einer Dispersionsrelation, die schließlich zu einer Relation umgeformt werden kann, die die Eigenschaften der gebundenen Zustände und Resonanzen mit einem Integral über dem Streuquerschnitt als Funktion der Energie der einfallenden Teilchen verknüpft. Diese Form der Dispersionsrelationen hat in den letzten Jahren eine wesentliche Rolle in der Elementarteilchenphysik bei der Beschreibung der stark wechselwirkenden Teilchen, der Hadronen, gespielt (analytische S-Matrix-Theorie). Ein wichtiger moderner Anwendungsbereich für Dispersionsrelationen ist auch die Berechnung von Feynman-Integralen in der Elementarteilchenphysik. Hierbei wird ausgenutzt, daß sich der Imaginärteil eines Feynman-Diagrammes leicht mit Hilfe der Cutkosky-Regeln bestimmen läßt. Den Realteil des Diagrammes erhält man über ein Dispersionsintegral. Insgesamt wird durch dieses Verfahren die Zahl der notwendigen Integrationen stark reduziert.

Dabei wurden die im Falle der nichtrelativistischen Quantenmechanik mathematisch streng ableitbaren Dispersionsrelationen mit recht gutem Erfolg auf den Fall einer relativistischen Dispersionstheorie übertragen. Tatsächlich können relativistische Dispersionsrelationen in der axiomatischen Quantenfeldtheorie, allerdings nicht in dem in der analytischen S-Matrix-Theorie benutzten Umfang, streng bewiesen werden. Die Grundlage bildet auch hierbei die Kausalitätsbedingung, wonach der Kommutator (bzw. Antikommutator) zweier Bose- (bzw. Fermi-)Operatoren für raumartige Abstände

verschwindet, d. h.

für

ist, da sich die Streuamplituden in der Quantenfeldtheorie als Matrixelemente solcher Kommutatoren ausdrücken lassen. Auf diese Weise erhält man über die experimentelle Prüfung der Richtigkeit solcher Dispersionsrelationen im Prinzip auch Aufschluß über die Zulässigkeit der quantenfeldtheoretischen Annahmen, wie etwa der obigen Kausalitätsbedingung.

In einem weiteren Sinne wird in einer beliebigen Wellentheorie oft auch der Zusammenhang zwischen Frequenz ν und Wellenlänge λ, meist in der Form ω = ω(k), als Dispersionsrelation oder Dispersionsbeziehung bezeichnet, wobei ω = 2πn die Kreisfrequenz und k = 2π/λ die Wellenzahl ist. Beispielsweise ist ω = ck/n die Dispersionsrelation einer elektromagnetischen Welle in einem Medium mit der Brechzahl n (Dispersion). [BK1]

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Maritha Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Christopher Monroe, Boulder, USA [CM] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Regensburg [NN] (A) (05)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06; Essay Analytische Mechanik)
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Mitarbeiter Band IV

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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
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Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
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Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
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Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
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Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
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Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
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Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
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Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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