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Lexikon der Physik: Drehimpuls

Drehimpuls 1) Mechanik: (veraltet: Drall, Impulsmoment), grundlegender Begriff der Mechanik des Massepunktes und des starren Körpers. Der Drehimpuls ist definiert als das Vektorprodukt

des Ortsvektors r bezüglich eines beliebigen Bezugsspunktes und des Impulses p. Er kann in der SI-Einheit N · m · s angegeben werden. Der Drehimpuls gehört zu den Bewegungsintegralen der Mechanik; für abgeschlossene, allgemein für beliebige rotationsinvariante Systeme ist er eine Erhaltungsgröße (Drehimpulserhaltungssatz).

Der Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten ergibt sich als lineare Summe der Einzeldrehimpulse:

. Für eine kontinuierliche Massenverteilung mit der Dichte ρ, z.B. für einen starren Körper, wird dies zu

, wobei

das aus dem Volumenelement dV und der Dichte ρ zusammengesetzte Massenelement ist. Im Schwerpunktsystem des Körpers kann man den Drehimpuls als

schreiben; ς steht hier für den Trägheitstensor, ω für den Vektor der Winkelgeschwindigkeit.

Im allgemeinen hängt der Drehimpuls vom Bezugssystem ab. Sind K und K ′ zwei Bezugssysteme, deren Ursprünge um die Strecke a voneinander entfernt sind, so besteht zwischen den Ortsvektoren r und r ′ ein und desselben Punktes die Beziehung r = r ′ + a, und für den Drehimpuls ergibt sich

. Dabei ist

der Gesamtimpuls des Systems (Impuls). Der Drehimpuls ist somit nur dann unabhängig vom Bezugssystem, wenn der Gesamtimpuls P verschwindet, das System als Ganzes also ruht. Handelt es sich bei K und K ′ um zwei Inertialsysteme, wobei K ′ das Schwerpunktsystem sei, und bewegt sich das eine mit einer Geschwindigkeit v relativ zum anderen, so erhält man für den Gesamtdrehimpuls des Systems

(mit dem Ortsvektor R des Schwerpunktes). Der Gesamtdrehimpuls des Körpers in einem beliebigen Bezugssystem setzt sich also aus dem Eigendrehimpuls L ′ (im Schwerpunktsystem) und dem von der Schwerpunktsbewegung als Ganzes herrührenden Bahndrehimpuls

zusammen.

In einer mehr mathematischen Betrachtungsweise kann der Drehimpuls als die infinitesimale Erzeugende der räumlichen Drehungen betrachtet werden, die die Lie-Gruppe SO(3) bilden; der Zusammenhang zwischen dieser Sichtweise und der obigen physikalischen Definition wird im Rahmen des Konzepts der kanonischen Transformationen (analytische Mechanik) offensichtlich.

2) Quantenmechanik: Durch Quantisierung, das heißt durch Ersetzen der Orts- und Impulskomponenten xi und pj durch hermitesche lineare Operatoren

, die den Vertauschungsrelationen

und

genügen, entstehen dadurch für die Komponenten

des Operators

, in der Quantenmechanik auch als Bahndrehimpulsoperator bezeichnet, die Vertauschungsrelationen

(εijk: Levi-Civita-Symbol). Die einzelnen Drehimpulskomponenten vertauschen also nicht miteinander; dies bedeutet, daß nicht alle drei Komponenten simultan gemessen werden können (siehe unten). Da in der Quantenmechanik auch andere Drehimpulsoperatoren, wie zum Beispiel der Spin, auftreten, muß der Begriff des Drehimpulses in der Quantenmechanik verallgemeinert werden. Man bezeichnet hier einen Operator

, dessen Komponenten

den Kommutationsrelationen

gehorchen, als Drehimpulsoperator. Die Operatoren

spannen eine Lie-Algebra, die sog. Drehimpulsalgebra, auf. Anhand der Kommutationsrelationen erkennt man, daß die Drehimpulsalgebra isomorph zu den Lie-Algebren

ist. Der einzige Casimir-Operator der Drehimpulsalgebra ist der Beltrami-Operator

.

In der Quantenmechanik werden häufig Systeme betrachtet, die eine Rotationssymmetrie besitzen; dann gilt

; D ist dabei eine Darstellung der Drehgruppe auf dem quantenmechanischen Hilbert-Raum H, R eine beliebige Drehung, also ein Element der zugrunde liegenden Drehgruppe (Darstellung einer Gruppe). Betrachtet man die stationäre Schrödinger-Gleichung

, wobei die

Eigenvektoren zum Energie-Eigenwert En sind, die durch i entartet sein können, so folgt aus der Invarianz des Systems unter Drehungen, daß die D(R)ψn,i für eine beliebige Drehung R wieder Eigenvektoren zum Energie-Eigenwert En sind. Der durch Anwendung aller Drehungen D(R) auf ψn,i erzeugte Raum besitzt eine irreduzible Darstellung der Drehgruppe, da er aufgrund seiner Konstruktion keine invarianten Unterräume bezüglich der Drehungen besitzt (Darstellung einer Gruppe). Aus diesem Grund interessiert sich die Physik für die irreduziblen Darstellungen der Drehgruppe und somit für die irreduziblen Darstellungen der zugehörigen Drehimpulsalgebra.

Die irreduziblen Darstellungen der Drehimpulsalgebra werden nach Eigenwerten des Casimir-Operators

und der Cartan-Unteralgebra, die o.B.d.A. durch

aufgespannt wird, definiert. Physikalisch entspricht dies der Tatsache, daß aufgrund der Kommutationsrelationen die einzelnen Komponenten des Drehimpulsoperators nicht simultan meßbar sind. Dagegen sind der Beltrami-Operator

und eine Komponente des Drehimpulsoperators

simultan meßbar. Man wählt deshalb eine beliebige Drehimpulskomponente, üblicherweise

, aus und betrachtet eine Basis des Darstellungsraumes, die aus Eigenvektoren der Operatoren

und

bestehen. Die Eigenvektoren werden mit

bezeichnet, die den Eigenwertgleichungen

und

genügen, wobei man j als Drehimpulsquantenzahl und m als magnetische Quantenzahl bezeichnet; letztere Benennung stammt aus der Atomphysik. Man definiert die Leiteroperatoren

und

mit den Kommutationsrelationen

. Aus den Kommutationsrelationen folgt, daß

und

. Dabei gilt für die Quantenzahlen, daß

und m = – j, – j + 1,...,j – 1, j. Somit ist jeder irreduzible Darstellungsraum, der durch eine Drehimpulsquantenzahl j beschrieben wird, (2j + 1)-fach entartet. Man bezeichnet diese Eigenschaft als Richtungsentartung.

Wird jedoch die Rotationssymmetrie des physikalischen Systems beispielsweise durch ein äußeres Magnetfeld gebrochen, so kann der quantenmechanische Drehimpuls keine beliebigen Werte annehmen, sondern sich zu jeder Drehimpulsquantenzahl j nur in 2j + 1 verschiedene Richtungen einstellen (Richtungsquantisierung, Richtungsquantelung, räumliche Quantelung).

In der Ortsdarstellung hat der Bahndrehimpulsoperator die Form

, woraus sich in Kugelkoordinaten



und für den Beltrami-Operator



ergibt. Die zugehörigen Eigenvektoren

sind die Kugelflächenfunktionen Ylm(ϑ,φ), wobei nur ganzzahlige Drehimpulsquantenzahlen l, also

auftreten. Die halbzahligen Drehimpulsquantenzahlen werden in der Quantenmechanik durch den Spin beschrieben. Die Komponenten des Spinoperators

erfüllen ebenfalls die Kommutationsrelationen der Drehimpulsalgebra, haben jedoch die Eigenvektoren

mit halbzahligen Eigenwerten

. [MM1]

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Dr. Christopher Monroe, Boulder, USA [CM] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
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Dr. Dietrich Einzel, Garching [DE] (A) (20)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
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Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
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Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
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Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
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Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
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Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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