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Lexikon der Physik: Fermi-Dirac-Statistik

Fermi-Dirac-Statistik, Fermi-Statistik, Quantenstatistik für ein aus Fermionen bestehendes und im Gleichgewicht befindliches Vielteilchensystem. Im Unterschied zur klassischen Maxwell-Boltzmann-Statistik sind hier infolge der quantenmechanischen Nichtunterscheidbarkeit der Teilchen Zustände, die sich nur durch den Austausch zweier gleichartiger Teilchen unterscheiden, identisch und dürfen nicht als verschieden gezählt werden. Der wesentliche Unterschied der Fermi-Dirac-Statistik zur Bose-Einstein-Statistik besteht darin, daß die Besetzungszahlen der einzelnen Zustände, die dort unbegrenzt sind, hier nur die Werte 0 und 1 annehmen können. Dies ist eine Folge des Pauli-Prinzips (Fermionen), nach dem sich niemals zwei oder mehr Fermionen im gleichen Quantenzustand befinden können. Ein ideales Fermi-Gas, also ein System aus Fermionen, die nicht miteinander in Wechselwirkung stehen, genügt der Fermi-Dirac-Verteilung

. Dabei ist

die mittlere Zahl der Teilchen im Zustand i mit der Energie Ei, kB die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur (Abb. 1). Das chemische Potential μ bestimmt sich implizit aus der Gleichung

, d.h. die Summe der Teilchenzahlen, summiert über alle Zustände i, ist gleich der Gesamtteilchenzahl N. In der Fermi-Dirac-Statistik kann das chemische Potential auch positive Werte annehmen. gi ist das statistische Gewicht des Zustandes i, d.h. die Zahl der Quantenzustände mit der Energie Ei. Bei den meisten Anwendungen hat man es mit Fermionen mit dem Spin 1 / 2 zu tun, z.B. mit Elektronen. Es gilt dann gi = 2 entsprechend den zwei verschiedenen Spinorientierungen je Energiezustand.

Im Falle Eiμ

kBT kann man die 1 im Nenner vernachlässigen, und die Fermi-Verteilung geht über in die Boltzmann-Verteilung. Ist obige Bedingung nicht erfüllt, weicht das Gas in seinen Eigenschaften vom klassischen idealen Gas ab, es tritt Gasentartung ein. Der Verlauf der Besetzungszahl der einzelnen Niveaus in Abhängigkeit von der Energie unter Weglassung des Faktors gi, also die Funktion



,

weist folgendes Verhalten auf: Bei tiefen Temperaturen, also bei starker Entartung, besetzen die Fermionen vorwiegend die niederen Energiezustände, während die Zustände höherer Energie praktisch leer sind, wobei der Übergang zwischen besetzten und leeren Energieniveaus in der Nähe des chemischen Potentials je für die entsprechende Temperatur verläuft. Im Grenzfall T = 0 sind alle Zustände unterhalb des chemischen Potentials mit je zwei (für gi = 2) Fermionen besetzt; die Zustände oberhalb des chemischen Potentials, dessen Grenzwert für T = 0 wegen dieser Eigenschaft auch als Fermi-Energie EF bezeichnet wird, sind leer. Das bedeutet, daß die mittlere Energie der Fermionen auch am absoluten Nullpunkt nicht verschwindet, sie hat einen endlichen Wert (Abb. 2). Der Fermischen Grenzenergie entspricht bei freien Teilchen ein Grenzimpuls pF. Alle Fermionen des Systems haben am absoluten Nullpunkt Impulse

. Diese Ungleichung beschreibt eine Kugel im Impulsraum, die Fermi-Kugel. Die Zahl der ungleichen Impulszustände innerhalb der Fermi-Kugel ist (4πpF3 / 3)V / h3, dabei ist V das vorgegebene Volumen des Fermi-Gases.

Von besonderer Bedeutung ist die Anwendung der Fermi-Dirac-Statistik auf das Elektronengas in Metallen, denn dieses befindet sich bereits bei normalen Temperaturen im Zustand starker Entartung. Die Fermi-Dirac-Statistik gestattet praktische Aussagen über die Metalleigenschaften, so z.B. die Herleitung des Richardsonschen Gesetzes der Elektronenemission an Glühkathoden. Auch die mittels der Fermi-Dirac-Statistik berechneten spezifischen Wärmen der Elektronen konnten experimentell bestätigt werden. Die Elektronen liefern bei sehr kleinen Temperaturen den Hauptanteil der spezifischen Wärme des Metalles. Die spezifischen Wärmen verschwinden für T

0 in Übereinstimmung mit dem dritten Hauptsatz der Thermodynamik.

Die Fermi-Dirac-Statistik wurde 1926 von E. Fermi für die Elektronen vorgeschlagen; die theoretische Grundlage gab ihr kurz darauf P.A.M. Dirac, der ihren Zusammenhang mit der Quantentheorie aufdeckte. Die erste Anwendung der Fermi-Dirac-Statistik auf das Elektronengas in Metallen erfolgte durch W. Pauli und A. Sommerfeld.



Fermi-Dirac-Statistik 1: Fermi-Dirac-Verteilung für T = 0 und kBT = (1 / 5)μ. Beide Kurven schneiden sich bei f(E) = 1 / 2.



Fermi-Dirac-Statistik 2: Fermi-Dirac-Verteilung für ein Gas in drei Dimensionen, gemessen für verschiedene Temperaturen und EF / kB = 50 000 K. Man beachte, daß die Kurven sich nicht bei f(E) = 1 / 2 schneiden.

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Maritha Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
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Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29)
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Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Florian Herold, München [FH] (A) (20)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
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Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
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Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
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Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
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Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
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Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
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Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Andrea Quintel, Stuttgart [AQ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
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Prof. Dr. Siegmar Roth, Stuttgart [SR] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
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Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
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Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
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Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
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Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
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Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
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Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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