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Lexikon der Physik: fraktales Wachstum

fraktales Wachstum, Begriff für natürliche Wachstumsprozesse, die u.a. zu fraktalen Oberflächen führen. Beispiele sind das Kristallwachstum aus einer unterkühlten Schmelze, elektrolytische Abscheidungen, die Ausbreitung von Bakterienkolonien oder das Wachstum dünner Schichten durch Molekularstrahlepitaxie (Fraktale). Ein einfaches Modell für fraktales Wachstum ist die ballistische Anlagerung (ballistic deposition). Das entsprechende dynamische Modell in einer Raumdimension ist in Abb. 1 illustriert. Teilchen (A oder B) werden an zufällig ausgewählten Orten sequentiell von oben deponiert und an dem schon bestehenden Aggregat angelagert, sobald eine Berührung stattfindet. Bezeichnet man mit h(l, t) die Höhe des Aggregats am diskreten Ort l (1 ≤ lL) zur diskreten Zeit t, so kann man die Evolutionsgleichung einfach als h(r, t + 1) = max[h(r – 1, t),
h(r, t), h(r + 1, t)] formulieren, wobei r ein zufällig ausgewählter Ort, mit der Anfangsbedingung h(l, t = 0) = 0 für alle l. Die mittlere Höhe des Aggregats wächst linear in der Zeit,

, also mit konstanter Geschwindigkeit, während die mittlere Fluktuation der Höhe, bzw. die ›Dicke‹ der Oberfläche



zunächst wie tβ anwächst, um dann für endliche Systeme bei einem Sättigungswert zu verharren, der mit der Systemgröße L wie Lα skaliert. Im Kontinuumslimes (Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung) findet man α = 1 / 2 und β = 1 / 3 in guter Übereinstimmung mit diskreten Simulationen. Das Anwachsen der Fluktuationen (Wachstumsexponent β) in der Zeit ist aus Abb. 2 ersichtlich. Die L-Abhängigkeit der asymptotischen Rauhigkeit (Rauhigkeits-Exponent α, auch Hurst-Exponent) bedeutet, daß sich langreichweitige Korrelationen im Raum aufgebaut haben. Für andere Modelle erhält man qualitativ dasselbe Verhalten, jedoch mit anderen dimensionsabhängigen Exponenten α und β. Die erhaltenen Oberflächen sind typischerweise statistisch selbstaffin (Selbstaffinität).

Eine völlig andere Klasse von fraktalen Wachstumsprozessen wird durch Modelle mit nicht-lokalen Regeln beschrieben, von denen das bekannteste die diffusionsbegrenzte Anlagerung ist.



fraktales Wachstum 1: Das Modell der ballistischen Anlagerung ist auf einem Gitter definiert. Senkrecht von oben einfallende Teilchen A und B bleiben an den nächstgelegenen Aggregatteilchen hängen (A´ und B´).



fraktales Wachstum 2: Ein Cluster, der durch ballistische Anlagerung erzeugt wurde. Die Änderung der Schattierung wurde nach jeweils 5000 Anlagerungsereignissen vorgenommen, um die mit der Zeit zunehmende Oberflächenrauhigkeit zu visualisieren (nach Barabasi/Stanley 1995).

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Mitarbeiter Band IV

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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
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Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
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Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
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Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
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Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
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Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Prof. Dr. Siegmar Roth, Stuttgart [SR] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
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Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
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Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
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Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
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Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
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