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Lexikon der Physik: Green-Funktionen

Green-Funktionen, Funktionen, die elementare Lösungen linearer Differentialoperatoren darstellen. Ist D ein linearer Differentialoperator auf einem Gebiet X

n mit differenzierbaren Koeffizientenfunktionen, so heißt eine (verallgemeinerte) Funktion Gξ(x) = G(x,ξ) eine Green-Funktion von D, fallsDGξ(x) = δξ(x),

mit x, ξX und der Diracschen Delta-Funktion δξ(x) = δ(x, ξ) = δ(xξ). Aus der Kenntnis der Green-Funktionen kann man dann spezielle Lösungen f der inhomogenen Gleichung

Df(x) = s(x)    (1)

für beliebige ›Quellen‹ s gewinnen durch die magische Formel



.  (2)

Allgemeine Lösungen erhält man dann durch Addition von Lösungen der homogenen Gleichung (s = 0).

Aus einer bestimmten Green-Funktion lassen sich mit Gl. (2) nicht alle Lösungen gewinnen. Verschiedene Klassen von Lösungen, für die unterschiedliche Green-Funktionen benötigt werden, unterscheiden sich durch ihre Anfangs- oder Randbedingungen. Die Auswahl einer geeigneten Green-Funktion zur Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (1) hängt auch ab von den Eigenschaften der Quellfunktion s. Bei der Ermittlung von Green-Funktionen findet häufig die Fourier-Transformation Anwendung. – In der Operatorendarstellung spricht man vom Greenschen Operator, der in den Quantenfeldtheorien als Propagator bezeichnet wird.Beispiele:

1) X =

, D = d / dx: eine Green-Funktion ist Gξ(x) = θ(xξ) mit der Heaviside-Funktion θ. Aus Gl. (2) wird



.

Der Ausdruck ist genau dann definiert, wenn s bei -∞ integrierbar ist. Es ist aber auch θ(xξ) + K eine Green-Funktion für jede Konstante K. Diese Mehrdeutigkeit kann durch Wahl einer Anfangsbedingung, z.B. x = – ∞, für G vermieden werden. Die Anfangsbedingung diktiert dann die Wahl der zulässigen Quellen. So muß für K = -1 die Quellfunktion s bei x = +∞ integrierbar sein, für K ∉ {0,-1} muß s bei x = ±∞ integrierbar sein.

2) Gedämpfter harmonischer Oszillator: X =

,

, mit

. Eine Green-Funktion ist



mit

. Diese kausale Green-Funktion beschreibt die Zeitentwicklung eines Oszillators, der am Anfang (t = -∞) in Ruhe ist und zur Zeit τ durch einen kurzen Kraftstoß in Schwingung versetzt wird.

3) Dirichlet-Problem für die Poisson-Gleichung: Dφ(x) = -Δφ(x) = ρ(x) in einem Gebiet X

3. Die Greenschen Funktionen von D sind



,ξ; x

, wobei hξ die Laplace-Gleichung Δhξ = 0 erfüllt (harmonische Funktionen). Für eine Ladungsverteilung ρ mit kompaktem Träger in X ist

, xX eine Lösung. Jede Lösung muß nach dem Greenschen Satz die Integralgleichung



erfüllen (da: Flächenelement von ∂X mit äußerer Flächennormale n). Beim Dirichletschen Randwertproblem sucht man die (eindeutige) Lösung φ, die auf ∂X vorgegebene Werte annimmt. Dazu wählt man h so, daß

(

) und erhält



.GD ist symmetrisch:

.

4) Wellengleichung im Minkowski-Raum: □f(t, x) = s(t, x), □: D'Alembert-Operator. Die sog. kausale oder retardierte Green-Funktion ist



,

mit der Heaviside-Funktion θ. Sie beschreibt eine Welle, die zur Zeit τ am Ort ξ erzeugt wird. Ihr Träger ist der von (τ, ξ) ausgehende Zukunftslichtkegel. Die avancierte Green-Funktion



beschreibt eine Welle, die zur Zeit τ am Ort ξ vernichtet wird. Ihr Träger ist der in (τ,ξ) mündende Vergangenheitslichtkegel (Wellengleichung).

5) Klein-Gordon-Operator[n]: □ + m2: Wie bei der Wellengleichung gilt für die Green-Funktionen



.

Die retardierte Green-Funktion ist



mit der Fourier-Transformierten



.

Die avancierte Green-Funktion erhält man, indem man ε durch -ε ersetzt. Wichtig für die Quantenfeldtheorie ist die als Feynman-Propagator (Propagator) bekannte Green-Funktion



.

Die expliziten Ausdrücke für G(t, x) enthalten Bessel-Funktionen und Neumann-Funktionen. [SD]

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Christian Fulda, Heidelberg [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22; Essay Datenverarbeitungssysteme künftiger Hochenergie- und Schwerionen-Experimente)
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Uwe Grigoleit, Göttingen [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (A, B) (01, 16; Essay Dichtefunktionaltheorie)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09; Essay Akustik)
Guenter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Maritha Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Christopher Monroe, Boulder, USA [CM] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Regensburg [NN] (A) (05)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06; Essay Analytische Mechanik)
Prof. Dr. Harry Paul, Berlin [HP] (A) (13)
Cand. Phys. Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
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Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14; Essay Allgemeine Relativitätstheorie)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Prof. Dr. Günter Radons, Stuttgart [GR2] (A) (11)
Oliver Rattunde, Freiburg [OR2] (A) (16; Essay Clusterphysik)
Dr. Karl-Henning Rehren, Göttingen [KHR] (A) (Essay Algebraische Quantenfeldtheorie)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
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Hans-Jörg Rutsch, Heidelberg [HJR] (A) (29)
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Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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Prof. Dr. David Wineland, Boulder, USA [DW] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Harald Wirth, Saint Genis-Pouilly, F [HW1] (A) (20)Steffen Wolf, Freiburg [SW] (A) (16)
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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
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Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
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Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
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Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
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Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
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Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
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Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
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Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
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Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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