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Lexikon der Physik: Korrelationsfunktion

Korrelationsfunktion, das gemischte Moment



zweier zufälliger Prozesse x(t) und y(t) unter Berücksichtigung einer zeitlichen Verzögerung τ des einen Prozesses gegenüber dem anderen, wobei Ex(t) und Ey(t) die Erwartungs- bzw. Mittelwerte der jeweiligen Prozesse sind. Für stationäre zufällige Prozesse, bei denen die Wahl eines zeitlichen Bezugspunktes auf seine Eigenschaften keinen Einfluß hat, hängt die Korrelationsfunktion nur von der Verzögerungszeit τ ab. Die praktische Bedeutung der Korrelationsfunktion ergibt sich aus ihrer Rolle als Abhängigkeitsmaß. So ist die Korrelationsfunktion Null, wenn die Zufallsprozesse x(t) und y(tτ) voneinander statistisch unabhängig sind.

In der statistischen Physik dient die Korrelationsfunktion zur Charakterisierung des Zusammenhanges zweier gleichzeitig verlaufender Schwankungsvorgänge, die durch die Zeitfunktionen x(t) und y(t) beschrieben werden können. Die Korrelationsfunktion berechnet sich für einen im Zeitnullpunkt startenden Prozeß nach der Formel



wobei

und

die Mittelwerte der jeweiligen Prozesse sind. Bei normierten und zeitsymmetrischen Zufallsprozessen benutzt man als Korrelationsfunktion häufig auch den Ausdruck



Bei der Autokorrelationsfunktion wird die Schwankungsgröße mit sich selbst, gleichfalls zeitverschoben, untersucht, indem man die Funktion y(t) in voriger Formel durch x(t) ersetzt.

Bei zeitlichen Prozessen wird oft das asymptotische Verhalten für große Zeiten t untersucht. Man erwartet, daß die Korrelationsfunktion mehr oder weniger rasch abnimmt. Da viele physikalische Prozesse ein exponentielles Abklingverhalten mit

zeigen, ist die Korrelationszeit τ ein Maß für die Stärke der Korrelation. Es sind aber auch Korrelationsfunktion mit algebraisch abfallendem Verlauf bekannt, die gegenüber dem exponentiellen Abfall bei größeren Zeiten stets ein langsameres Abklingverhalten aufweisen.

Besondere Bedeutung besitzt die Korrelationsfunktion vor allem dadurch, daß sie einen Zusammenhang mit der Temperatur T des Systems herstellt. Dieser wird durch das Schwankungs-Dissipations-Theorem zum Ausdruck gebracht. Für die Fourier-Transformierte

der Korrelationsfunktion gilt demnach



wobei k die Boltzmann-Konstante und χ(t) eine prozeßspezifische Dissipationsfunktion (Suszeptibilität) ist. Außerdem besteht zwischen der Korrelationsfunktion und der Spektraldichte durch das Wiener-Khinchine-Theorem ein eindeutiger Zusammenhang.

Zufallsschwankungen treten jedoch nicht nur in zeitlicher Folge auf, für ungeordnete Systeme ist die räumliche Position r der Atome oder Moleküle ebenfalls eine Zufallsgröße. Eine einfache Beschreibungsgröße für deren gegenseitige Wechselwirkung erfolgt durch die Korrelationsfunktion g(r), die auch radiale Verteilungsfunktion genannt wird.

Im Falle vieler Teilchen N steht sie mit der Paar-Verteilungsfunktion

(r1, r2: Positionsvektoren der Moleküle 1 und 2, V: Volumen, T: Temperatur) in enger Beziehung und kann auch auf verschiedenatomige Systeme angewendet werden. Da die Paar-Verteilungsfunktion für Flüssigkeiten und Gase nur vom gegenseitigen Abstand abhängt, wird sie durch

definiert, wobei ρ die Teilchendichte ist. Im Falle idealer Gase, d.h. Teilchen ohne Wechselwirkung und damit mit einem Wechselwirkungspotential

, gilt

, d.h. hierfür ist

. Hingegen erhält man bei periodischen Anordnungen in Kristallen einen periodischen Verlauf der Korrelationsfunktion. Bei vielen ungeordneten Systeme erfolgt die Konvergenz mit wachsender Entfernung r in exponentieller Weise. Hierbei ist der Korrelationsradius ein Maß für die Stärke des Abfalls. Im Falle von Edelgasen erfolgt sie besonders rasch, weshalb Edelgase den idealen Gasen im thermodynamischen Verhalten ähneln. Bei anderen Strukturen, so etwa bei Gläsern, kann die Korrelation aufgrund der Netzwerkstruktur weitreichend sein; sie muß auch nicht mehr exponentiell abnehmen.

Die Stärke der Korrelation und damit die Paarverteilungsfunktion hat Einfluß auf das thermodynamische Verhalten des Systems. Aus ihrer Kenntnis läßt sich die thermische Zustandsgleichung ableiten.

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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
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Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
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Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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