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Lexikon der Physik: lineare Kette

lineare Kette, einfaches Modell zur Behandlung charakteristischer Eigenschaften der Gitterschwingungen. Der Aufbau eines Kristalls wird dabei vereinfacht dargestellt durch eine eindimensionale Anordnung von Massen, zwischen denen Kräfte wirken. Diese wirken einer Auslenkung aus der Ruhelage entgegen.

Ein Spezialfall der linearen Kette ist die AA-Kette mit gleichen Massen und gleichen Kraftkonstanten. Hier sind

identische Massen

in einem Abstand

durch die Kraftkonstante

miteinander gekoppelt (Abbildung 1). Für die Auslenkungen

der Masse

sollen zyklische Randbedingungen gelten:

mit

. Damit beschreibt man Kristalle mit nur einem Atom in der Einheitszelle. Mit der Annahme, daß jeweils nur nächste Nachbarn miteinander wechselwirken, ergibt sich für die Auslenkung

der komplexe Lösungsansatz einer monochromatischen Welle

, für deren Frequenz die Dispersionsrelation

gilt. Ihr Verlauf ist in Abbildung 2 wiedergegeben. Für kleine Wellenzahlen

gilt in erster Näherung

. Die Verschiebungen

für die Wellenzahlen

und

(

ganze Zahl) sind identisch, so daß man sich auf die erste Brillouin-Zone mit

beschränken kann. Da aus der Periodizitätsbedingung

folgt, bedeutet dies außerdem, daß es nur N physikalisch unterscheidbare Wellenzahlen und damit Schwingungsmoden gibt. Für sehr große N kann man die Kontinuumsvorstellung verwenden. Die Anzahl der möglichen Wellenzahlen in einem Wellenzahlenbereich

ist dann durch

gegeben. Wenn

die Anzahl der möglichen Schwingungsmoden mit Frequenzen zwischen

und

darstellt, gilt also:



(der Faktor 2 ist nötig, da k zur selben Frequenz

sowohl negativ als auch positiv sein kann). Für die Frequenzverteilung der Schwingungsmoden der linearen Kette erhält man



wobei

die maximal mögliche Frequenz darstellt (Abbildung 3). Es gilt natürlich die Normierung



d.h. insgesamt sind N Schwingungsmoden erlaubt.

Die Variante der linearen Kette mit zwei unterschiedlichen Massen (AB-Kette) läßt sich auf Kristalle anwenden, bei denen sich in der Einheitszelle der Länge a zwei Atome mit unterschiedlichen Massen

und

in einem Abstand von

befinden (Abbildung 4). Der Ansatz mit ebenen Wellen führt jetzt auf die Dispersionsrelation



deren Verlauf in Abbildung 5 wiedergegeben ist (

: reduzierte Masse). Im Gegensatz zur einatomigen Kette treten hier zwei getrennte Zweige auf. Derjenige, dessen Frequenz bei kleinen Wellenzahlen k nicht verschwindet, heißt optischer Zweig, den anderen, dessen Frequenz proportional zu k verschwindet



, nennt man akustischen Zweig. Das Amplitudenverhältnis der Auslenkungen der schweren und der leichteren Massen

ergibt sich zu



Hieraus folgt, daß die Atome in einer Elementarzelle, insbesondere im Fall langer Wellenlängen, bei den Frequenzen des akustischen Zweiges gleichphasig (

) und bei den Frequenzen des optischen Zweiges in entgegengesetzter Phase schwingen (

). Bei

schwingen im optischen Zweig die beiden Teilgitter starr gegeneinander:

; für

am Rand der ersten Brillouin-Zone ruhen im optischen Zweig die schweren Massen

(

), und die leichten Massen

schwingen mit entgegengesetzter Amplitude. Dagegen verharrt im akustischen Zweig das Teilgitter der leichten Massen in Ruhe (

), während die benachbarten Atome der schweren Massen im Gegentakt schwingen. Das Gitterschwingungsspektrum einer linearen Kette mit den Massen

zeigt Abbildung 6.Die Berechnung der Dispersionsrelation für Gitterschwingungen in dreidimensionalen Kristallen verläuft vollkommen analog. Man erhält jedoch aufgrund der größeren Zahl an Freiheitsgraden auch mehr Zweige, nämlich stets drei akustische (zwei transversale und einen longitudinalen) sowie

optische Zweige, wobei s für die Anzahl der Atome in der Einheitszelle steht; für

also

Zweige (Abbildung 7). Bei den longitudinalen Moden schwingen die Massen wie in dieser Betrachtung längs der Kette (Longitudinalwellen), bei den transversalen Moden hingegen quer dazu (Transversalwellen).



lineare Kette 1: Eine lineare Kette mit identischen Massen m und den Kraftkonstanten D zwischen nächsten Nachbarn. Der Abstand zweier Massen beträgt a.



lineare Kette 2: Dispersionsrelation für die lineare Kette mit gleichen Massen. Der Abstand zwischen zwei erlaubten Wellenzahlen k beträgt

.



lineare Kette 3: Gitterspektrum einer einatomigen linearen Kette.



lineare Kette 4: Zweiatomige lineare Kette mit den Massen m1 und m2. Die Kraftkonstante zwischen nächsten Nachbarn im Abstand a / 2 beträgt D.



lineare Kette 5: Dispersionsrelation einer zweiatomigen linearen Kette (dargestellt nur für k0). a) m1 < m2. b) m1 = m2. Die Brillouin-Zone wurde erweitert, weil die Elementarzelle bei zwei gleichen Massen verkleinert ist. Dieser Fall entspricht der einatomigen linearen Kette.



lineare Kette 6: Gitterspektrum einer zweiatomigen linearen Kette mit m1 < m2.



lineare Kette 7: Dispersionsrelation der Gitterschwingungen eines dreidimensionalen anisotropen Gitters mit zwei Atomen pro Einheitszelle. Dargestellt sind jeweils ein longitudinaler (L) und die beiden transversalen (T) Moden für den optischen (O) und den akustischen (A) Zweig.

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Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
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Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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