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Lexikon der Physik: Schwingungen

Schwingungen, Oszillationen, Vibrationen, zeitlich periodische Änderung einer oder mehrerer physikalischer Größen um einen Mittelwert. Sie treten auf, wenn Störungen mechanischer, elektrischer oder auch thermischer Gleichgewichte zu Kräften führen, die der Störung entgegenwirken. Bei mechanischen Schwingungen kann die schwingende Größe z.B. eine aus ihrer Ruhelage ausgelenkte Masse (Pendel, Stimmgabel, Membran, Saite usw.) sein (Saitenschwingungen, Stabschwingungen, Pendel). Bei elektromagnetischen Schwingungen sind die elektrische und magnetische Feldstärke, die elektrische Ladung eines Kondensators, die Stromstärke, die Spannung usw. die periodisch veränderlichen Größen (Schwingkreis). Auch im Plasma treten Schwingungen auf, wenn die Quasineutralität durch Ladungsverschiebungen gestört wird (Plasmaschwingungen). Breitet sich eine Schwingung im Raum aus, so spricht man von Wellen.

Zu unterscheiden sind zunächst freie und erzwungene Schwingungen. Letztere werden durch eine periodische äußere Kraft zum Schwingen gebracht, während bei ersteren nur innere Kräfte wirken. Bei Anwesenheit dissipativer Prozesse (z.B. Reibung) spricht man von gedämpften Schwingungen. Die Eigenschaften des Systems hängen dann ganz entscheidend von der relativen Stärke der Dämpfung ab.

Ist das Differentialgleichungssystem für die schwingungsfähigen Variablen

linear, handelt es sich um lineare Schwingungen. Für solche Gleichungssysteme existieren allgemeine mathematische Lösungsverfahren. Dies ist von besonderer Bedeutung, da Schwingungen mit verhältnismäßig kleiner Amplitude meist näherungsweise durch lineare Schwingungen beschrieben werden können, indem, ausgehend von der Gleichgewichtslage

, die Taylor-Entwicklung der rückstellenden Kraft nach dem linearen Term abgebrochen wird (Schwingungen, kleine). Schwieriger ist dagegen die Behandlung von nichtlinearen Schwingungen. Trotz ihrer großen praktischen Bedeutung (viele periodische physikalische Vorgänge sind nur in erster Näherung für kleine Amplituden durch ein lineares Gleichungssystem zu beschreiben) existieren nur für einige wenige Spezialfälle allgemeine mathematischen Lösungsverfahren.

Unter harmonischen Schwingungen versteht man Schwingungen mit einem sinusförmigen Schwingungsverlauf. Voraussetzung dafür ist eine der Auslenkung proportionale rückstellende Kraft. Bei gekoppelten Systemen führt dies zu einem linearen Differentialgleichungssystem – es handelt sich also um lineare Schwingungen. Umgekehrt sind jedoch nicht alle linearen Schwingungen auch harmonisch, etwa bei linearer Dämpfung. Die meisten Schwingungen sind anharmonisch und ihr Verlauf ist häufig eine sehr komplizierte periodische Funktion der Zeit. Diese kann jedoch in eine harmonische Grundschwingung und eine im allgemeinen große Anzahl von harmonischen Oberschwingungen zerlegt werden, deren Frequenzen ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz sind (Fourier-Reihe). Anharmonische Schwingungen liegen bei nahezu allen realen Systemen mit großer Amplitude vor, wie z.B. auch dem Fadenpendel (Pendel). Weitere Beispiele für anharmonische Schwingungen sind Kippschwingungen oder Töne, die erst durch die charakteristische Verteilung der Obertöne ihre typische Klangfarbe erhalten.

Die mathematische Behandlung von Schwingungen führt unabhängig von der genauen Problemstellung häufig auf formal identische Differentialgleichungen. Die wichtigsten Grundtypen sollen hier am Beispiel des Federpendels vorgestellt werden.

Für eine Masse

und eine Richtgröße (Federkonstante)

lautet die Schwingungsgleichung für die Auslenkung

aus der Ruhelage:



Es handelt sich um ein lineares Gleichungssystem. Durch Integration erhält man als Lösung harmonische Schwingungen



mit

.

ist die Amplitude,

die Kreisfrequenz und

die Schwingungsdauer oder Periode der Schwingung. Darüber hinaus bezeichnet

die Phasenverschiebung, die bei geeigneter Wahl der Zeitskala Null gesetzt werden kann und

die Frequenz.

Durch Einführung eines energieverzehrenden Prozesses (Reibung) erhält man gedämpfte Schwingungen. Häufig ist diese Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit

. Mit der Dämpfungskonstanten

und der Abkürzung

gelangt man zu folgender linearer Schwingungsgleichung:



Bei der Lösung sind drei Fälle zu unterscheiden: Im Schwingfall mit

erhält man gedämpfte harmonische Schwingungen mit abnehmender Periode (siehe Abb. 1):



wobei

. Die Größe

heißt logarithmisches Dekrement und ist ein Maß für Abnahme der Amplitude pro Schwingungsperiode

:



und damit der zu

proportionalen in der Schwingung gespeicherten Schwingungsenergie.

Für starke Dämpfung

wird der Vorgang aperiodisch: die Größe

nähert sich von einer Seite her asymptotisch dem ungestörten Gleichgewichtszustand. Deshalb spricht man auch vom Kriechfall. Die Lösung setzt sich dabei aus zwei exponentiellen Termen zusammen:



mit

und entsprechend gewählten Parametern

und

.

Technisch ist der aperiodische Grenzfall mit

(mittlere Dämpfung) von besonderer Bedeutung, denn die Schwingung erreicht in diesem Fall die Ruhelage in der kürzest möglichen Zeit. Dies ist insbesondere bei Zeigermeßgeräten, Stoßdämpfern usw. erwünscht. Die Lösung setzt sich wieder aus zwei Termen zusammen:



Zu erzwungen Schwingungen gelangt man ausgehend von den eben behandelten freien Schwingungen durch Einführung einer äußeren Kraft

, die zusätzlich zur rücktreibenden Kraft und der Reibungskraft periodisch auf das schwingungsfähige System einwirkt. Für

ergibt sich dann als Schwingungsgleichung



Die Lösung ist bei schwacher Dämpfung (

) die Überlagerung einer abklingenden Schwingung mit der Eigenfrequenz

des Systems (Einschwingvorgang) über einem stationären Vorgang der Form

. Die Phasendifferenz

zwischen einwirkender Kraft und der ausgeführten Schwingung berechnet sich zu

und für die Amplitude

gilt (siehe Abb. 2+3):



Das System schwingt also mit der Frequenz der anregenden Kraft. Ist diese Frequenz sehr viel kleiner als die Eigenfrequenz

des System, folgt es der äußeren Kraft ohne Phasenverschiebung. Bei sehr hohen Frequenzen schwingen das System und die äußere Kraft hingegen gegenphasig und im Bereich der Resonanz (

) beträgt die Phasenverschiebung genau

. Der Energieübertrag ist dann maximal und die Amplitude nimmt sehr große Werte an, die sogar zur Zerstörung des Geräts führen können (Resonanzkatastrophe). Das Maximum der Amplitude (Amplitudenresonanz) wird mit Dämpfung für

erreicht, das Maximum der kinetischen Energie (Energie- oder Geschwindigkeitsresonanz) für

. (Saitenschwingungen)



Schwingungen 1: Amplitudenverlauf einer gedämpften freien Schwingung (Schwingfall).



Schwingungen 2: Phasenverschiebung zwischen erregender Kraft und Schwingung für verschiedene Werte der relativen Dämpfung

. Bei langsamer Anregung folgt das System der äußeren Kraft, bei schneller Anregung schwingt es gegenphasig und im Resonanzfall (

) beträgt die Verschiebung genau

.



Schwingungen 3: Amplitude einer erzwungenen Schwingung (nach dem Einschwingvorgang). Ohne Dämpfung (

) steigt die Amplitude bei

ins Unermeßliche (Resonanzkatastrophe).

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Prof. Dr. Klaus Bethge, Frankfurt (B) (18)
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Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22; Essay Datenverarbeitungssysteme künftiger Hochenergie- und Schwerionen-Experimente)
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Uwe Grigoleit, Göttingen [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (A, B) (01, 16; Essay Dichtefunktionaltheorie)
Prof. Dr. Hellmut Haberland, Freiburg [HH4] (A) (Essay Clusterphysik)
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Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Andreas Markwitz, Dresden [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Bensheim [HM3] (A) (29)
Mathias Mertens, Mainz [MM1] (A) (15)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Warwick, UK [RM1] (A) (23)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09; Essay Akustik)
Guenter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Maritha Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Christopher Monroe, Boulder, USA [CM] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Regensburg [NN] (A) (05)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06; Essay Analytische Mechanik)
Prof. Dr. Harry Paul, Berlin [HP] (A) (13)
Cand. Phys. Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Prof. Dr. Ulrich Platt, Heidelberg [UP] (A) (Essay Atmosphäre)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14; Essay Allgemeine Relativitätstheorie)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Prof. Dr. Günter Radons, Stuttgart [GR2] (A) (11)
Oliver Rattunde, Freiburg [OR2] (A) (16; Essay Clusterphysik)
Dr. Karl-Henning Rehren, Göttingen [KHR] (A) (Essay Algebraische Quantenfeldtheorie)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Prof. Dr. Hermann Rietschel, Karlsruhe [HR1] (A, B) (23)
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Hans-Jörg Rutsch, Heidelberg [HJR] (A) (29)
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Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
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Prof. Dr. Heinz-Georg Schuster, Kiel [HGS] (A, B) (11; Essay Chaos)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (A, B) (07, 20)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
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Dipl.-Geophys. Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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Prof. Dr. David Wineland, Boulder, USA [DW] (A) (Essay Atom- und Ionenfallen)
Dr. Harald Wirth, Saint Genis-Pouilly, F [HW1] (A) (20)Steffen Wolf, Freiburg [SW] (A) (16)
Dr. Michael Zillgitt, Frankfurt [MZ] (A) (02)
Prof. Dr. Helmut Zimmermann, Jena [HZ] (A) (32)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)

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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Ulf Borgeest, Hamburg [UB2] (A) (Essay Quasare)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
Dr. Dietrich Einzel, Garching [DE] (A) (20)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33; Essay Optische Erscheinungen der Atmosphäre)
Dr. Christian Eurich, Bremen [CE] (A) (Essay Neuronale Netze)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Christoph Heinze, Hamburg [CH3] (A) (29)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Florian Herold, München [FH] (A) (20)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Georg Hoffmann, Gif-sur-Yvette, FR [GH1] (A) (29)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
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Dr. Catherine Journet, Stuttgart [CJ] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen, [JK] (A) (04; Essay Numerische Methoden in der Physik)
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Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Dr. Uwe Klemradt, München [UK1] (A) (20, Essay Phasenübergänge und kritische Phänomene)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
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Dr. Berndt Koslowski, Ulm [BK] (A) (Essay Ober- und Grenzflächenphysik)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Jens Kreisel, Grenoble [JK2] (A) (20)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
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Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15; Essay Quanteninformatik)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
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Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Michael Schmid, Stuttgart [MS5] (A) (Essay Nanoröhrchen)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Paul Steinhardt, Princeton, USA [PS] (A) (Essay Quasikristalle und Quasi-Elementarzellen)
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Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
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Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
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Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
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Priv.-Doz. Dr. Jörg Zegenhagen, Stuttgart [JZ3] (A) (21; Essay Oberflächenrekonstruktionen)
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Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
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Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
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Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Andreas Markwitz, Lower Hutt, NZ [AM1] (A) (21)
Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
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Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
Dr. Berthold Suchan, Gießen [BS] (A) (Essay Wissenschaftsphilosophie)
Cornelius Suchy, Brüssel [CS2] (A) (20)
Dr. Volker Theileis, München [VT] (A) (20)
Prof. Dr. Stefan Theisen, München (A) (Essay Stringtheorie)
Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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