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Lexikon der Physik: Stabilität der Materie

Stabilität der Materie, die Tatsache, daß sowohl Einzelatome (mikroskopische Stabilität) als auch Atomaggregate im Limes großer Teilchenzahl

(makroskopische Stabilität) gegen die Coulomb-Anziehung (Coulomb-Gesetz) stabil sind; beides braucht zur Erklärung ganz entscheidend die Quantenphysik.

Die mikroskopische Stabilität stellt insofern ein Problem dar, da in der klassischen Physik die Elektronen nichts am ›Sturz in den Coulomb-Trichter‹ des Kernes hindert. Die Lösung des Problems beruht auf der quantenmechanischen Lokalisierungsenergie, d.h. auf der Tatsache, daß wegen

die kinetische Energie nach unten beschränkt ist,



und Δp2 seinerseits bei zunehmender Lokalisierung des Teilchens so stark anwächst, daß die Potentialenergie

kompensiert werden kann; gilt aber für jeden Zustand



so gilt es auch für den Grundzustand.

Die übliche Abschätzung

auf der Basis der Heisenbergschen Unschärferelation genügt jedoch nicht für die gewünschte Ungleichung (2). Denn

kann endlich sein, auch wenn es

nicht ist; in diesem Fall kann ELok nicht U kompensieren und

divergiert trotz der Unschärferelation.

Man braucht eine stärkere Abschätzung, die geliefert wird durch



(von R. Peierls), also

. Dann hat

ein Minimum, weil die zu mittelnde Funktion eines hat (siehe Abb.1).

Die makroskopische Stabilität stellt nun auch ein Problem dar, denn wendet man obiges Lokalisierungsargument bei N Atomen an, so wäre bei unveränderter Ladungsverteilung um ein Einzelatom für jedes Elektron eine Umverteilung auf das N-fache Volumen möglich (siehe Abb.2); da so eine verkleinerte Lokalisierungsenergie ELok einer unveränderten elektrostatischen Anziehung

widerstehen muß, erwartet man, daß EMin mit zunehmendem N immer negativer und das Atomvolumen V immer kleiner wird. Dies zeigt die Rechnung in der Tat, und weiterhin, daß die gesamte Bindungsenergie -N · EMin stärker als linear in N steigt, das Gesamtvolumen N · V aber sogar abnimmt, d.h. eine nur durch die Lokalisierungsenergie stabilisierte Materie würde mit

unter Aussendung immer größerer Energiemengen implodieren.

Die Lösung des Problems liegt im Pauli-Prinzip: N Elektronen können nicht in identischer Weise verteilt werden, sondern ihre Zustandsfunktion ist zu antisymmetrisieren. Daß dann in der Tat Gesamtenergie und -volumen proportional zu N, d.h. extensive Größen sind, kann mit der Thomas-Fermi-Theorie streng gezeigt werden.

Versteht man das Pauli-Prinzip als etwas wesensmäßig Quantenphysikalisches, so gilt: Die höchst alltägliche Tatsache der Stabilität der Materie ist ein makroskopischer Quanteneffekt.

Die Stabilisierung der Materie gegen die Coulomb-Anziehung durch das Pauli-Prinzip ist eher eine Ausnahme; für stärker divergierende oder rein anziehende Kraftgesetze sowie für Bosonen ergibt sich immer Instabilität (siehe Tab.). Die Gravitationsinstabilität insbesondere wird durch das Jeans-Kriterium beschrieben.

Stabilität der Materie: Die Stabilität der Materie gegen Gravitations- und Coulomb-Anziehung. Nur für Fermionen unter Coulomb-Anziehung ergeben sich Gesamtvolumen und -energie (N · V; N · EMin) proportional zur Teilchenzahl.

N · V N · EMin
Coulomb / Bosonen ~ N-1 ˜ -N5 / 3
Coulomb / Fermionen ˜ N ˜ -N
Gravitation / Bosonen ˜ N-3 ˜ -N-3
Gravitation / Fermionen ˜ N-1 ~ -N7 / 3



Stabilität der Materie 1: Das effektive Gesamtpotential (mittlere Kurve) als Summe von Coulomb-Potential (untere Kurve, strich-punktiert) und Lokalisierungsenergie (obere Kurve, gestrichelt). Das Minimum von

liegt bei

und

(E0, a0: Bohr-Energie und -Radius).



Stabilität der Materie 2: ›Delokalisierungs-Umverteilung‹: Die beiden ›Teilchen‹ (senkrechte und waagrechte Striche) sind unten bei gleicher ›Ladungsdichte‹ (gesamte Strichzahl) jeweils auf die doppelte Fläche verteilt.

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