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Lexikon der Physik: stochastischer Prozeß

stochastischer Prozeß, Zufallsprozeß, grundlegender Begriff der Statistischen Physik des Ungleichgewichts. Ein physikalischer Vorgang wird als stochastischer Prozeß bezeichnet, wenn eine exakte, deterministische Vorhersage des zeitlichen Verlaufs nicht möglich ist, so daß für die interessierenden Größen nur Wahrscheinlichkeitsaussagen gegeben werden können. Strenger formuliert ist ein stochastischer Prozeß eine Zufallsvariable Y(t) mit einer Dichtefunktion W(y, t), die von der Zeit t abhängt, wobei dann eine tatsächlich durchlaufene Trajektorie y(t) als Realisierung dieses stochastischen Prozesses bezeichnet wird. Das bekannteste und historisch als erstes behandelte Beispiel eines solchen Prozesses ist die Brownsche Bewegung, für deren Beschreibung Einstein lediglich die mittlere quadratische räumliche Verschiebung der Partikel

betrachtete. Der Ort x(t) spielt hier die Rolle der Zufallsvariablen, einer zeitveränderlichen Größe, über deren Entwicklung nur stochastische Aussagen gemacht werden können.

In der Regel hat die Zufallsvariable Y(t) zu verschiedenen Zeitpunkten

keinen unabhängigen Verlauf. Man führt die gemeinsame Wahrscheinlichkeit



dafür ein, daß sich für Y1 ein Wert im Intervall [y1, y1 + dy1], für Y2 ein Wert im Intervall [y2, y2 + dy2] usw. ergibt. Im Falle der Abwesenheit jeder zeitlichen Korrelation der Zufallsvariablen, also des Fehlens jeder Dynamik im System, wird diese gemeinsame Wahrscheinlichkeit zu:



Die wichtigste Untergruppe der stochastischen Prozesse bilden die Markow-Prozesse. Zur Formulierung der sie definierenden zeitlichen Korrelationsbedingung, der Markow-Bedingung, muß die bedingte Wahrscheinlichkeit oder auch Übergangswahrscheinlichkeit W(y1, t1| y0, t0)dy dafür eingeführt werden, daß der Wert von Y1 zu Zeit t1 zwischen y1 und y1 + dy liegt, wenn zu einer früheren Zeit t0 exakt der Wert y0 vorgelegen hat. Die Markow-Bedingung lautet unter Zuhilfenahme dieses Begriffes



d.h. die Wahrscheinlichkeit für den Übergang vom Wert yn-1 zur Zeit tn-1 zum Wert yn zur Zeit tn hängt ausschließlich von yn-1, tn-1, yn und tn ab, während die gesamte Vorgeschichte des Systems vor tn-1 nicht von Relevanz ist. Der gesamte Vorgang ist nun durch die Wahrscheinlichkeiten W1(y1, t1) und W2(y2, t2|y1, t1) eindeutig bestimmt. Damit ist die Markow-Eigenschaft eine Idealisierung, die es erlaubt, mit nur wenigen Bestimmungsgrößen den gesamten stochastischen Prozeß zu definieren. Die Markow-Bedingung besagt z.B. bezüglich der Brownschen Bewegung, also der durch thermische Stöße der Umgebung hervorgerufenen Zitterbewegung kolloidaler Partikel, daß Richtung und Stärke des nächsten Stoßes nicht von der Richtung und Stärke des vorhergehenden Stoßes abhängen, sondern nur von der momentanen Position des Partikels. Allgemein lassen sich stochastische Prozesse in der Natur als Markow-Prozesse beschreiben, wenn der Einfluß der Vorgeschichte in einem Zeitintervall fast völlig verschwindet, der klein gegenüber den interessierenden Zeitskalen ist. Von einem homogenen Prozeß spricht man, wenn die Übergangswahrscheinlichkeiten nur von den Zeitdifferenzen abhängen. Ist zusätzlich noch W1(y1, t1) zeitunabhängig, so bezeichnet man den Vorgang als im strengen Sinne stationär.

Eine Bedingung, die alle Markow-Prozesse erfüllen müssen, ist in der Chapman-Kolmogorov-Gleichung mit der zeitlichen Abfolge

formuliert:



Die Übergangswahrscheinlichkeit von einem Wert y1 zur Zeit t1 zum Wert y3 zur Zeit t3 bestimmt sich also als Produkt der Übergangswahrscheinlichkeiten über einen Zwischenzustand y2 zur Zeit t2, wobei über alle möglichen Werte dieses Zwischenzustandes integriert werden muß.

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Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
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Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
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Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
Priv.-Doz. Dr. Axel Lorke, München [AL] (A) (20)
Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
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Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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