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Lexikon der Physik: Supergravitation

Supergravitation, supersymmetrische Theorie der Gravitation, welche die Allgemeine Relativitätstheorie umfaßt. Theorien der Supergravitation wurden zum ersten Mal 1976 von Freedman, van Nieuwenhuizen und Ferrara sowie Deser und Zumino diskutiert. Ausgangspunkt ist die Algebra der (globalen) Supersymmetrie mit Erzeugenden

, die zwischen Bosonen und Fermionen vermitteln, sowie den Erzeugenden

und

der Poincaré-Gruppe. Neben der üblichen Algebra der Poincaré-Gruppe und der Translationsinvarianz der

spielt die Antikommutatorbeziehung



eine zentrale Rolle, wobei

die Dirac-Matrizen sind (

). Fermionen und Bosonen werden durch irreduzible Darstellungen dieser Algebra in Supermultipletts vereinigt. Wünscht man die Transformationen der Supersymmetrie an jedem Raumzeitpunkt unabhängig durchzuführen, so muß man die Symmetrie eichen (Eichtheorien). Aus (1) folgt, daß dann Translationen (von

erzeugt) an jedem Punkt unabhängig vorgenommen werden können, was gerade die Durchführung allgemeiner Koordinatentransformationen ermöglicht. Deshalb enthält die durch die Eichung entstehende Supergravitation die Allgemeine Relativitätstheorie, genauer: die Einstein-Cartan-Theorie, welche durch die Eichung der Poincaré-Gruppe entsteht und neben der Krümmung zu einer Torsion für die Raumzeit führt. Mit den Erzeugern

,

,

der Algebra sind die Eichfelder

(Vierbeinfeld),

(Zusammenhang),

(Rarita-Schwinger-Feld) verknüpft. Die Felder

haben Spin 3 / 2 und werden als Gravitinos bezeichnet. Im Falle N = 1 (einfache Supergravitation) gibt es ein Gravitino, das sich mit dem Graviton, das Spin 2 aufweist, ein Multiplett teilt. Gravitinos sind zunächst masselos, erhalten aber eine Masse durch den Higgs-Mechanismus (spontane Symmetriebrechung).

Bei

spricht man von erweiterter Supergravitation. Für

sind zwei Gravitinos, ein Graviton und ein Photon in einem Multiplett vereinigt, was eine vereinheitlichte Theorie von Gravitation und Elektromagnetismus ergibt. Fordert man, daß es nur ein Graviton gibt und daß keine Spins größer als 2 auftauchen, so gilt (in 4 Raumzeitdimensionen)

. (Für Spins größer als 2 kennt man keine befriedigende Kopplung an andere Felder.) Im Falle N = 1 ist die Wirkung der Supergravitation die Summe aus Einstein-Hilbert-Wirkung und Rarita-Schwinger-Wirkung für das Gravitino:



wobei die spinorielle kovariante Ableitung durch den Ausdruck



gegeben ist. Die Wirkung (2) ist nicht nur invariant unter allgemeinen Koordinatentransformationen und lokalen Poincaré-Transformationen, sondern auch unter lokalen Supersymmetrietransformationen, die für Vierbein und Gravitinofeld lauten:



mit

als antikommutierender infinitesimaler Parameterfunktion. Man kann vierdimensionale Wirkungen auch aus höherdimensionalen

-Theorien gewinnen, indem man eine Reduktion wie in Kaluza-Klein-Theorien vornimmt. Interessant ist dabei insbesondere die Supergravitation in 11 Raumzeitdimensionen, da dies die höchstmögliche Dimension für Supergravitationstheorien darstellt (dort ist nur N = 1 erlaubt) und bedeutsam für die Stringtheorie ist.

Theorien der Supergravitation lassen sich auch in einem ›Superraum‹ beschreiben (der nichts mit dem Superraum der kanonischen Quantengravitation zu tun hat), bei dem die gewöhnlichen Raumzeitkoordinaten

durch antikommutierende Koordinaten

ergänzt werden, für welche die

Translationen erzeugen.

Da Quantenfeldtheorien der Gravitation wegen der dimensionsbehafteten Kopplungskonstanten (

in D Raumzeitdimensionen) i.a. nicht renormierbar sind (Quantengravitation), können Divergenzen in einzelnen Ordnungen der Störungstheorie nur unter besonderen Umständen (z.B. wegen des Vorhandenseins von Symmetrien) verschwinden. Für D = 4 verschwindet die Divergenz bei einer Schleife nach einer Umdefinition der Felder wie bei der reinen Gravitation ohne Gravitino. Wegen der Supersymmetrie gibt es keinen 2-Schleifen-Term, jedoch treten für N 8 in 3 Schleifen Divergenzen auf (für N = 8 scheint dies nicht der Fall zu sein, weshalb dort Probleme erst ab 5 Schleifen erwartet werden). Für D = 11 gibt es schon ab 2 Schleifen Divergenzen. Die störungstheoretische Nichtrenormierbarkeit der Quantengravitation tritt also auch bei der Supergravitation auf. Aus diesem Grund ist für eine konsistente Quantentheorie der Gravitation eine ab initio nichtstörungstheoretische Formulierung (Quantengravitation) oder eine Aufgabe des Feldbegriffs auf fundamentaler Ebene (Stringtheorie) vorzunehmen.

Für das Gravitino erwartet man nach der Symmetriebrechung eine Masse von der Größenordnung 100 GeV. Das könnte zu Problemen in der Kosmologie führen, da erzeugte Gravitinos eventuell eine überkritische Dichte des Universums bewirken. Hieraus ergeben sich starke Einschränkungen an inflationäre kosmologische Modelle (Inflation), die auf Supergravitation basieren.

Copyright 1998 Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

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Maritha Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Andreas Müller, Kiel [AM2] (A) (33; Essay Alltagsphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Regensburg [NN] (A) (05)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06; Essay Analytische Mechanik)
Prof. Dr. Harry Paul, Berlin [HP] (A) (13)
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Dipl.-Geophys. Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Mitarbeiter Band IV

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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
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Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
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Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
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Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
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Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
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Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
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Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
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Dr. Patrick Voss-de Haan, Mainz [PVDH] (A) (17)
Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
Dr. Martin Werner, Hamburg [MW] (A) (29)
Dr. Achim Wixforth, München [AW1] (A) (20)
Dr. Steffen Wolf, Berkeley, USA [SW] (A) (16)
Dr. Stefan L. Wolff, München [SW1] (A) (02)
Priv.-Doz. Dr. Jochen Wosnitza, Karlsruhe [JW] (A) (23)
Dr. Kai Zuber, Dortmund [KZ] (A) (19)
Dr. Werner Zwerger, München [WZ] (A) (20)

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