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Lexikon der Physik: Tensoralgebra

Tensoralgebra, Formalismus, der beschreibt, welche algebraischen Operationen beim Umgang mit Tensoren in welcher Weise möglich sind. Hierzu gehören die Summation von Tensoren (sie erfolgt komponentenweise und ist kommutativ), die Multiplikation mit Skalaren, Vektoren und Tensoren, die Verjüngung und Überschiebung von Tensoren sowie das Transformationsverhalten von Tensoren. Diese folgen den Regeln der linearen Algebra; aus historischen Gründen liegt der Tensoralgebra noch ein eigentümlicher Formalismus zugrunde, der hier kurz beleuchtet werden soll.

Zunächst seien Tensoren 1. Stufe, d.h. Vektoren, betrachtet. Sei in einem

-dimensionalen euklidischen Vektorraum eine Basis

mit

Basisvektoren

gegeben. Ein beliebiger Vektor

besitzt dann gemäß der Eigenschaften eines Vektorraums die Darstellung

, wobei nach den Regeln der Tensoralgebra die Einsteinsche Summenkonvention verwendet wird. Der Betrag des Vektors ergibt sich zu

, wobei die Metrikkoeffizienten

später als Metriktensor

bezeichnet werden. Neben der bisher betrachteten Basis

, die in der Tensoralgebra auch kovariante Basis genannt wird, wird vermöge der Skalarprodukt-Beziehung

mit Kroneckersymbol

die kontravariante Basis

eingeführt. Schreibt man die Basisvektoren

als Spalten einer Matrix

, so ist die Matrix

der kontravarianten Basis also durch die Bedingung

gegeben, also

bzw.

und

, wobei sich die Matrix

der kontravarianten Metrikkoeffizienten ebenfalls als inverse Matrix von

ergibt. Der oben betrachtete Vektor

läßt sich nun sowohl bezüglich der kovarianten als auch der kontravarianten Basis darstellen:

, wobei die

die kovarianten und die

die kontravarianten Komponenten des Vektors

genannt werden. Zu den Basisoperationen der Tensoralgebra gehören das Heraufziehen des Index (Beispiel:

) und Herunterziehen des Index (Beispiel:

). Geht man nun mit Hilfe einer linearen Transformation

von einer bestimmten kovarianten Basis

zu einer anderen kovarianten Basis

(bzw.:

) über, so wird der umgekehrte Übergang von

nach

gerade durch die inverse Transformationsmatrix

vollzogen. Ein Vektor

bzw. jeder Tensor 1. Stufe transformiert sich wie die Basis, d.h.

; derartiges Transformationsverhalten heißt kogredient. Kovariante und kontravariante Koeffizienten kontrahieren sich dagegen kontragredient zueinander.

Das einfachste Beispiel eines Tensors 2. Stufe läßt sich aus dem dyadischen Produkt

zweier Vektoren ableiten, wobei

die kontravarianten,

die kovarianten,

und

die gemischt kovariant-kontravariante Komponenten genannt werden und

die kovariante,

die kontravariante und

und

gemischte Basen darstellen. Für dyadische Produkte gelten ferner das Distributivgesetz

und das Assoziativgesetz

. Das Transformationsverhalten eines Tensors 2. Stufe ist durch

bzw.

charakterisiert, wobei

die Koeffizienten der inversen Transformationsmatrix

bezeichnet. Durch Multiplikation mit den Metrikkoeffizienten können Indizes herunter- und heraufgezogen werden, z.B.



Die ›verjüngende‹ Multiplikation eines Tensors 2. Stufe

mit einem Tensor 1. Stufe

erzeugt mit der Vorschrift



einen neuen Vektor, ebenso wie die verjüngende Multiplikation von links gemäß



erfolgt.

Ein Tensor

-ter Stufe läßt sich definieren als Größe, deren Basis ein tensorielles Produkt von

Grundvektoren, also



ist; entsprechend gibt es

Arten von Komponenten: rein kovariante, rein kontravariante und

Arten gemischter Komponenten. Die Behandlung derartiger Tensoren folgt der allgemeinen Transformationsregel, daß für jeden kovarianten bzw. kontravarianten Index dieselben Transformationsregeln wie für die kovarianten bzw. kontravarianten Komponenten eines Tensors 1. Stufe gelten.

Anders als das verjüngende Produkt ergibt das tensorielle Produkt zweier Tensoren

und

einen Tensor



-ter Stufe; es ist assoziativ, jedoch nicht kommutativ. Beispiel:



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Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

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Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
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Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
Dr. Matthias Delbrück, Dossenheim [MD] (A) (12, 24, 29)
Prof. Dr. Martin Dressel, Stuttgart (A) (Essay Spindichtewellen)
Dr. Michael Eckert, München [ME] (A) (02)
Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
Dr. Marc Hemberger, Heidelberg [MH2] (A) (19)
Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
Dr. Hermann Hinsch, Heidelberg [HH2] (A) (22)
Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
Thomas Kluge, Jülich [TK] (A) (20)
Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
Volker Lauff, Magdeburg [VL] (A) (04)
Dr. Anton Lerf, Garching [AL1] (A) (23)
Dr. Detlef Lohse, Twente, NL (A) (Essay Sonolumineszenz)
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Prof. Dr. Jan Louis, Halle (A) (Essay Stringtheorie)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
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Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
Jörg Schuler, Taunusstein [JS1] (A) (06, 08)
Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
Richard Schwalbach, Mainz [RS2] (A) (17)
Prof. Dr. Klaus Stierstadt, München [KS] (B)
Dr. Siegmund Stintzing, München [SS1] (A) (22)
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Dr. Annette Vogt, Berlin [AV] (A) (02)
Dr. Thomas Volkmann, Köln [TV] (A) (20)
Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Dr. Thomas Wagner, Heidelberg [TW2] (A) (29)
Manfred Weber, Frankfurt [MW1] (A) (28)
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