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Lexikon der Physik: Variationsprinzip

Variationsprinzip, ein in der theoretischen und mathematischen Physik aus naturphilosophischen Motivationen entwickeltes allgemeines Integralprinzip bzw. eine allgemeine Methode zur Aufstellung von Gleichungen zur Bestimmung von Funktionen, insbesondere Kurven oder Flächen. Man spricht von einem Prinzip, da man in sehr einheitlicher und formaler Weise (dieser Gedanke geht wesentlich auf P.L.M. Maupertuis zurück, der bemüht war, verschiedene Naturgesetze, die bislang als unvereinbar angesehen wurden, in Einklang zu bringen) versucht, eine differentielle Bedingung an eine Funktion bzw. Kurve aus der Forderung abzuleiten, daß eine bestimmte integrale Größe, z.B. die Energie, die Wirkung, die Zeit oder die durchlaufene Weglänge, minimiert wird. Diese differentielle Bedingung gewinnt man in der Variationsrechnung aus der Variation von Funktionen bzw. Kurven einer bestimmten Funktionenklasse. Das bekannteste Beispiel ist das Hamiltonsche Prinzip (ursprünglich von Maupertuis entwickelt und auch Prinzip der kleinsten Wirkung genannt; korrekterweise müßte es Prinzip der stationären Wirkung heißen, da durch die notwendige Bedingung der Stationarität möglicherweise auch Sattelpunkte und Maxima erfaßt werden) aus der klassischen Mechanik, das für Punktsysteme verlangt, daß der Übergang von einem Zustand in einen anderen in dem vorgegebenem Zeitintervall

so geschieht, daß die erste Variation

des Funktionals



verschwindet (

) bzw. das Wirkungsintegral

(man beachte, daß [I] = Energie × Zeit) minimal bzw. stationär wird;

heißt Lagrange-Funktion. Mit Hilfe der Methoden der Variationsrechnung leiten sich daraus die Euler-Lagrange-Gleichungen ab. Weitere Beispiele für Variationsprinzipe sind in der Optik das Prinzip der kürzesten Zeit (bzw. des kürzesten optischen Weges)

, wobei

den Brechungsindex,

das Bogenelement und

und

Ausgangs- und Endpunkt des Lichtstrahls bezeichnen. Dieses Prinzip wurde von Hamilton in mathematischer Strenge als Variationsprinzip formuliert, hat aber bereits Vorläufer in Heron von Alexandria im 1. Jahrhundert, der es für die Reflexion, und in P. de Fermat, der es 1662 in seinem Fermatschen Prinzip für die Refraktion aufstellt; Maupertuis bringt mit seiner Arbeit ›Der Einklang verschiedener Naturgesetze, die bislang als unvereinbar angesehen wurden‹ die Extremalprinzipien der Optik und der Mechanik in Beziehung. In der Quantenmechanik mit Hamilton-Operator

führt das Ritzsche Variationsprinzip



auf die Eigenwertgleichung

zur Bestimmung der Wellenfunktion

. In der Speziellen Relativitätstheorie wird ein speziell-relativistisch invariantes Wirkungsintegral variiert, und in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist

, wobei

das Riemannsche Bogenelement bezeichnet und somit sich der Körper auf einer Geodäten, der kürzesten Verbindung in der vierdimensionalen Raumzeit, bewegt. Schließlich beruhen sämtliche Feldtheorien der Physik in Elektromagnetismus, Mechanik der Fluide oder Kontinua auf einem Variationsprinzip, wobei statt der Lagrange-Funktion eine passend gewählte Lagrange-Dichte

gewählt wird und das Wirkungsintegral

mit

eine allgemeinere Form annimmt. Variationsprinzipe repräsentieren den physikalischen Gehalt in einer sehr kompakten und einheitlichen Form und gestatten in einfacher Weise, die Invarianz gegenüber bestimmten Transformationen (Noether-Theorem) und damit die Existenz von Erhaltungssätzen nachzuweisen; sie erlauben elegant den Übergang zu anderen Koordinatensystemen, bilden häufig den Ausgangspunkt zur Konstruktion numerischer Verfahren und erfreuen sich als Extremalprinzipien auch grundlegender naturphilosphischer Bedeutung.

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Autoren (A) und Berater (B):

In eckigen Klammern steht das Autorenkürzel, die Zahl in der runden Klammer ist die Fachgebietsnummer; eine Liste der Fachgebiete findet sich im Vorwort.

Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
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Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
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Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
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Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Karl Eberl, Stuttgart [KE] (A) (Essay Molekularstrahlepitaxie)
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Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33; Essay Optische Erscheinungen der Atmosphäre)
Dr. Christian Eurich, Bremen [CE] (A) (Essay Neuronale Netze)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15; Essay Perkolationstheorie)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Harald Fuchs, Münster [HF] (A) (Essay Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Michael Gerding, Kühlungsborn [MG2] (A) (13)
Prof. Dr. Gerd Graßhoff, Bern [GG] (A) (02)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Prof. Dr. Michael Grodzicki, Salzburg [MG1] (B) (01, 16)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Florian Herold, München [FH] (A) (20)
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Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen, [JK] (A) (04; Essay Numerische Methoden in der Physik)
Priv.-Doz. Dr. Claus Kiefer, Freiburg [CK] (A) (14, 15; Essay Quantengravitation)
Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
Dr. Ulrich Kilian, Heidelberg [UK] (A) (19)
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Dr. Achim Knoll, Karlsruhe [AK1] (A) (20)
Dr. Alexei Kojevnikov, College Park, USA [AK3] (A) (02)
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Dr. Bernd Krause, München [BK1] (A) (19)
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Dr. Gero Kube, Mainz [GK] (A) (18)
Ralph Kühnle, Heidelberg [RK1] (A) (05)
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Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
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Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20; Essays Molekularstrahlepitaxie, Ober- und Grenzflächenphysik und Rastersondenmikroskopie)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
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Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
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Dr. Joachim Schüller, Dossenheim [JS2] (A) (10)
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Rolf vom Stein, Köln [RVS] (A) (29)
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Prof. Dr. Klaus Andres, Garching [KA] (A) (10)
Markus Aspelmeyer, München [MA1] (A) (20)
Dr. Katja Bammel, Cagliari, I [KB2] (A) (13)
Doz. Dr. Hans-Georg Bartel, Berlin [HGB] (A) (02)
Steffen Bauer, Karlsruhe [SB2] (A) (20, 22)
Dr. Günther Beikert, Viernheim [GB1] (A) (04, 10, 25)
Prof. Dr. Hans Berckhemer, Frankfurt [HB1] (A, B) (29; Essay Seismologie)
Dr. Werner Biberacher, Garching [WB] (B) (20)
Prof. Tamás S. Biró, Budapest [TB2] (A) (15)
Prof. Dr. Helmut Bokemeyer, Darmstadt [HB2] (A, B) (18)
Dr. Thomas Bührke, Leimen [TB] (A) (32)
Jochen Büttner, Berlin [JB] (A) (02)
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Dr. Dietrich Einzel, Garching (A) (Essay Supraleitung und Suprafluidität)
Dr. Wolfgang Eisenberg, Leipzig [WE] (A) (15)
Dr. Frank Eisenhaber, Wien [FE] (A) (27)
Dr. Roger Erb, Kassel [RE1] (A) (33)
Dr. Angelika Fallert-Müller, Groß-Zimmern [AFM] (A) (16, 26)
Stephan Fichtner, Heidelberg [SF] (A) (31)
Dr. Thomas Filk, Freiburg [TF3] (A) (10, 15)
Natalie Fischer, Walldorf [NF] (A) (32)
Dr. Thomas Fuhrmann, Mannheim [TF1] (A) (14)
Christian Fulda, Hannover [CF] (A) (07)
Frank Gabler, Frankfurt [FG1] (A) (22)
Dr. Harald Genz, Darmstadt [HG1] (A) (18)
Prof. Dr. Henning Genz, Karlsruhe [HG2] (A) (Essays Symmetrie und Vakuum)
Dr. Michael Gerding, Potsdam [MG2] (A) (13)
Andrea Greiner, Heidelberg [AG1] (A) (06)
Uwe Grigoleit, Weinheim [UG] (A) (13)
Gunther Hadwich, München [GH] (A) (20)
Dr. Andreas Heilmann, Halle [AH1] (A) (20, 21)
Carsten Heinisch, Kaiserslautern [CH] (A) (03)
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Dr. Sascha Hilgenfeldt, Cambridge, USA (A) (Essay Sonolumineszenz)
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Priv.-Doz. Dr. Dieter Hoffmann, Berlin [DH2] (A, B) (02)
Dr. Gert Jacobi, Hamburg [GJ] (B) (09)
Renate Jerecic, Heidelberg [RJ] (A) (28)
Prof. Dr. Josef Kallrath, Ludwigshafen [JK] (A) (04)
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Richard Kilian, Wiesbaden [RK3] (22)
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Holger Mathiszik, Celle [HM3] (A) (29)
Dr. Dirk Metzger, Mannheim [DM] (A) (07)
Dr. Rudi Michalak, Dresden [RM1] (A) (23; Essay Tieftemperaturphysik)
Günter Milde, Dresden [GM1] (A) (12)
Helmut Milde, Dresden [HM1] (A) (09)
Marita Milde, Dresden [MM2] (A) (12)
Prof. Dr. Andreas Müller, Trier [AM2] (A) (33)
Prof. Dr. Karl Otto Münnich, Heidelberg (A) (Essay Umweltphysik)
Dr. Nikolaus Nestle, Leipzig [NN] (A, B) (05, 20)
Dr. Thomas Otto, Genf [TO] (A) (06)
Priv.-Doz. Dr. Ulrich Parlitz, Göttingen [UP1] (A) (11)
Christof Pflumm, Karlsruhe [CP] (A) (06, 08)
Dr. Oliver Probst, Monterrey, Mexico [OP] (A) (30)
Dr. Roland Andreas Puntigam, München [RAP] (A) (14)
Dr. Gunnar Radons, Mannheim [GR1] (A) (01, 02, 32)
Dr. Max Rauner, Weinheim [MR3] (A) (15)
Robert Raussendorf, München [RR1] (A) (19)
Ingrid Reiser, Manhattan, USA [IR] (A) (16)
Dr. Uwe Renner, Leipzig [UR] (A) (10)
Dr. Ursula Resch-Esser, Berlin [URE] (A) (21)
Dr. Peter Oliver Roll, Ingelheim [OR1] (A, B) (15)
Hans-Jörg Rutsch, Walldorf [HJR] (A) (29)
Rolf Sauermost, Waldkirch [RS1] (A) (02)
Matthias Schemmel, Berlin [MS4] (A) (02)
Prof. Dr. Erhard Scholz, Wuppertal [ES] (A) (02)
Dr. Martin Schön, Konstanz [MS] (A) (14; Essay Spezielle Relativitätstheorie)
Dr. Erwin Schuberth, Garching [ES4] (A) (23)
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