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Arithmetische Dynamik: Mathematischer Brückenschlag

Eine neue Disziplin kombiniert Erkenntnisse aus der Zahlentheorie mit dynamischen Systemen, die insbesondere in der Physik eine große Rolle spielen. Das eröffnet eine unerwartete Verbindung zwischen den zwei so unterschiedlich anmutenden Gebieten und fördert erstaunliche Ergebnisse zu Tage.
Zahlen

Joseph Silverman erinnert sich noch sehr gut an den Moment, der ihn zur Begründung eines neuen mathematischen Bereichs führte. Es geschah aus einem Zufall heraus am 25. April 1992, bei einer Konferenz am Union College in Schenectady, New York. Damals lauschte er einem Vortrag seines angesehenen Kollegen John Milnor, der 1962 die renommierte Fields-Medaille und 2011 den Abelpreis erhielt. Seine Präsentation drehte sich um ein Thema aus der komplexen Dynamik, über das Silverman, ein Zahlentheoretiker von der Brown University, bislang nur wenig wusste. Doch als Milnor einige der grundlegenden Ideen vorstellte, entdeckte Silverman verblüffende Ähnlichkeiten zu seinem eigenen Fachgebiet. »Wenn man nur ein paar Wörter ändert, entsteht ein völlig analoges Problem«, erinnert er sich.

Angesichts dieser unerwarteten Erkenntnis, verließ Silverman den Raum voller Inspiration. Als er beim Frühstück am folgenden Tag Milnor begegnete, setzte er sich zu ihm und löcherte ihn mit Fragen. Während ihres Gesprächs erkannte der Zahlentheoretiker immer mehr Zusammenhänge der beiden so unterschiedlich wirkenden Bereiche. Er beschloss daher, ein Wörterbuch zu erstellen, das zwischen den wichtigsten Inhalten und Fragestellungen der dynamischen Systeme und der Zahlentheorie übersetzen sollte.

Auf den ersten Blick wirkt es so, als haben die beiden Gebiete kaum etwas miteinander zu tun. Doch Silverman sah, dass sie sich auf eine besondere Weise ergänzen. Während die Zahlentheorie nach Mustern in Folgen sucht, erzeugen dynamische Systeme eben solche Sequenzen – etwa, indem man die Position eines Planeten im Raum in regelmäßigen Zeitabständen notiert. Somit verschmelzen beide Welten, sobald man nach den Gesetzmäßigkeiten sucht, denen die geheimnisvollen Zahlenfolgen unterliegen.

In den drei Jahrzehnten, die auf Milnors Vortrag folgten, entdeckten Mathematikerinnen und Mathematiker immer mehr Verbindungen zwischen den beiden Bereichen. Das schaffte die Grundlage für ein völlig neues Fachgebiet: die so genannte arithmetische Dynamik. Die Reichweite der jungen Disziplin wächst stetig …

Von »Spektrum der Wissenschaft« übersetzte und bearbeitete Fassung des Artikels »Mathematicians Set Numbers in Motion to Unlock Their Secrets« aus »Quanta Magazine«, einem inhaltlich unabhängigen Magazin der Simons Foundation, die sich die Verbreitung von Forschungsergebnissen aus Mathematik und den Naturwissenschaften zum Ziel gesetzt hat.

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  • Quellen

DeMarco, L. et al.: Uniform Manin-Mumford for a family of genus 2 curves. Annals of mathematics 191, 2020

DeMarco, L. et al.: Common preperiodic points for quadratic polynomials. ArXiv 1911.02458, 2019

Kühne, L.: Equidistribution in families of Abelian varieties and uniformity. ArXiv 2101.10272, 2021

Raynaud, M.: Courbes sur une variete abelienne et points de torsion. Inventiones mathematicae 71, 1983