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Bienenwaben sind wirklich optimal

Nach dem Beweis der Keplerschen Vermutung hat Thomas Hales ein ebenso traditionsreiches, wenn auch nicht ganz so berühmtes Optimierungsproblem erledigt.


Seit der Antike gilt die Bienenwabe als leuchtendes Beispiel für die Optimalität natürlicher Konstruktionen. Wenn sehr viele gleich große Bienenlarven mit einer möglichst geringen Menge Wachs in Kämmerchen einzuhüllen sind, dann ist das Geschickteste, was man tun kann, das, was die Bienen tun: Zellen aneinanderreihen, deren Querschnitt ein regelmäßiges Sechseck ist. Es scheint offensichtlich, daß jede kleine Unregelmäßigkeit – bei unverändertem Zellenvolumen – mehr Wachs erfordern würde, und eine grundsätzlich andere Konstruktion erst recht.

Es stimmt ja auch – nur ist es weit weniger offensichtlich, als es den Anschein hat. Ein stichhaltiger mathematischer Beweis stand lange aus; erst vor wenigen Wochen hat Thomas Hales von der Universität von Michigan in Ann Arbor die letzte Lücke geschlossen ("The Honeycomb Conjecture", im Internet zu beziehen über www.math.lsa. umich.edu/~hales/countdown/honey/).

Es ist derselbe Thomas Hales, der kürzlich die jahrhundertelang offene Keplersche Vermutung bewies: Die dichteste mögliche Packung von gleich großen Kugeln im Raum wird durch die bereits von Johannes Kepler gefundene und dem traditionellen Orangenhändler seit jeher geläufige Anordnung realisiert (Spektrum der Wissenschaft, April 1999, S. 10). Das Zusammentreffen ist keineswegs zufällig. Nicht nur geht es in beiden Fällen um Probleme, denen man ihre Schwierigkeit zunächst nicht ansieht; sie sind auch mathematisch eng miteinander verknüpft.



Trügerische Einfachheit



In zwei Dimensionen, also in der Ebene, scheint alles ganz einfach und übersichtlich zu sein. An die Stelle der Kugeln treten Kreise, und deren dichteste Packung entsteht, wenn man zunächst lauter gleich große Kreise in gerader Linie anordnet und dann weitere gerade Reihen von ihnen danebenlegt – und zwar jeweils um einen halben Durchmesser versetzt, so daß die Kreise jeder Reihe in die Lücken der Nachbarreihe geraten. Man rechne nun jedem Kreis gewissermaßen als persönlichen Vorgarten die Menge aller Punkte zu, die seinem Mittelpunkt näher liegen als dem jedes anderen Kreises: die sogenannte Voronoi-Zelle. Und siehe da: Die Voronoi-Zellen sind sämtlich regelmäßige Sechsecke, angeordnet wie in Bienenwaben. Das leuchtet ein: Wenn die Kugeln schon optimal platzsparend liegen, dann müßte der Flächenverbrauch für die Wände eigentlich auch minimal sein.

Es ist die richtige Lösung des Wachs-Minimierungsproblems, allerdings mit der falschen Begründung. Gesucht wird unter allen Systemen von Kurven, die Flächen des Inhalts 1 abgrenzen, eines mit der kürzesten Gesamtlänge. Dabei wird nicht gefordert, daß die so abgeteilten Flächen regelmäßig geformt sind, oder auch nur, daß sich ihr Muster periodisch wiederholt; beliebig krumme Grenzlinien sind zugelassen. Unter dieser Bedingung ist nicht von vornherein klar, daß die Voronoi-Zellen einer dichtesten Kreis- beziehungsweise Kugelpackung eine Aufteilung mit minmalem Verbrauch an Wandmaterial liefern.

In drei Dimensionen ist es sogar definitiv falsch. Die Keplersche dichteste Kugelpackung besteht aus lauter versetzt aufeinandergestapelten Ebenen mit Kugeln in Bienenwabenanordnung. Die Voronoi-Zelle jeder Kugel ist ein Rhombendodekaeder; das ist der Körper, der entsteht, wenn man auf jede Fläche eines Würfels eine Pyramide mit der Höhe der halben Würfelkante aufsetzt. Das ist zwar genau die Form, in der die Zellen von zwei gegenüberliegenden Seiten einer echten Bienenwabe aneinandergrenzen (Bild rechts oben); aber es geht günstiger. Man lege die Kugeln nicht, wie bei der Kepler-Packung, in die Ek-ken und die Flächenmittelpunkte einer Würfelpackung, sondern in die Ecken und den räumlichen Mittelpunkt jedes Würfels (raumzentriertes statt flächenzentriertes kubisches Gitter). Die Vo-ronoi-Zellen dieser Packung sind Oktaederstümpfe: Oktaeder, deren sechs Ecken so abgeschnitten wurden, daß die Schnittflächen Quadrate und die von den Dreiecken verbleibenden Restflächen regelmäßige Sechsecke sind. Ein Oktaederstumpf hat bei gleichem Volumen ungefähr ein Prozent weniger Oberfläche als ein Rhombendodekaeder.

Damit nicht genug: Man kann noch etwas an Wandfläche sparen, indem man die Wände ein bißchen krumm macht. Das hatte William Thompson, der spätere Lord Kelvin, bereits 1887 entdeckt. Und selbst diese Konstruktion ist noch zu unterbieten, wenn man sich auf Zellenformen geringerer Regelmäßigkeit einläßt. Das haben Denis Weaire und Robert Phelan 1994 gezeigt ("Nature", Bd. 367, S. 123, 13. Januar 1994).

Jede Grenzfläche zwischen zwei Zellen ist eine Minimalfläche; sonst ließe sich durch geringfügige Deformation der Wände noch Material sparen. Damit hat das Problem Beziehungen zur Wissenschaft von den Seifenhäuten und Schäumen (Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1998, S. 14). Vor allem aber widerlegen die krummflächig begrenzten Blasen eine naheliegende Vorstellung: nämlich daß die einzelnen Zellen, in die der Raum zerlegt wird, konvex sein, das heißt mit je zwei Punkten auch deren Verbindungsstrecke enthalten müßten. Wenn man von einem Punkt einer Zelle aus einen anderen Punkt derselben Zelle nicht sehen kann, weil ein Stück Wand im Wege ist, möchte man die Wand nach außen drücken. Das spart Material und erhöht das Zellenvolumen, sollte einen also eigentlich dem Optimum näher bringen. Nur macht man durch diesen Deformationsakt dem Nachbarn seine Zelle kleiner und versperrt ihm obendrein einen bisher ungehinderten Blick, so daß möglicherweise insgesamt nichts gewonnen ist.

Die Erkenntnis, daß das dreidimensionale Problem – finde eine Aufteilung des Raums in Zellen gleichen Volumens mit minimalem Wandflächenverbrauch – jedenfalls nicht eine naheliegende symmetrische Anordnung als Optimum hat, verschaffte dem zweidimensionalen Fall neue Aufmerksamkeit. Es wurde klar, daß man nicht nur Aufteilungen der Ebene mit einer gewissen Regelmäßigkeit, sondern sehr beliebige zur Konkurrenz zulassen muß.

Für eingeschränkte Fälle war das Bienenwabenproblem längst gelöst: Der ungarische Mathematiker Lászlo Fejes Tóth hatte im Jahre 1943 bereits bewiesen, daß die Bienenwaben optimal sind, wenn man sich auf konvexe Zellen und damit auf geradlinige Begrenzungen beschränkt. Frank Morgan vom Williams College in Williamstown (US-Bundesstaat Massachusetts) hatte dann 1993 gezeigt, daß in jedem Falle die Grenzlinien Kreisbögen oder gerade Linien sein müssen, die sich, wenn überhaupt, dann zu dritt und in Winkeln von 120 Grad treffen.

Hales hat also nichts weiter getan, als die Möglichkeit "Kreisbögen" definitiv auszuschließen. Aber für diesen scheinbar kleinen Schritt mußte er einen erheblichen Aufwand treiben. Was machte den Beweis so schwer?

Einerseits, wie bei der Kugelpackung, die Einbeziehung des Unendlichen. Will man ein endliches Stück Ebene in gleich große Zellen aufteilen, so ist zumindest für die äußersten Wände, die nicht mehr an andere Zellen, sondern an die Außenwelt grenzen, nicht eine gerade Strecke, sondern ein Kreisbogen optimal. Hales hat sich des lästigen Unendlichen entledigt, indem er ein hinreichend großes Rechteck durch Identifizierung gegenüberliegender Seiten zum Torus verklebte und dann nachwies, daß dieser Kunstgriff harm-los ist.

Andererseits sind gewisse sonst beim Minimieren übliche Argumente nicht anwendbar. Wer beispielsweise eine krumme Linie geradezieht und damit die Gesamtlänge des Netzes vermindert, erhöht die Fläche der einen Nachbarzelle und vermindert die der anderen. Da die Zellenflächen jedoch vorgeschrieben sind, muß für die Änderung ein Ausgleich gefunden werden, der die Netzlänge nicht wieder in die Höhe treibt und möglichst nicht noch eine dritte Zelle mit einbezieht.



Von den Bienen lernen



Der Beweis von Thomas Hales beruht nicht auf einer einzigen genialen Idee. Wie beim Beweis des Kepler-Problems bestand die Kunst in einer geschickten – und unter ausgiebiger Nutzung des Computers gefundenen – Zusammenstellung klassischer Techniken aus Geometrie und Analysis.

Die Nachricht, daß die Bienen es – in dieser Hinsicht – tatsächlich optimal machen, ist an sich nicht sonderlich erregend. Interessanter könnte es sein, die von Hales entwickelten Techniken auf andere Optimierungsprobleme anzuwenden.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 1999, Seite 12
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
11 / 1999

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 11 / 1999

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