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Langlands-Programm: Brückenschlag in der Mathematik

Seit Jahrzehnten vermuten Wissenschaftler, dass zwei völlig verschiedene mathematische Gebiete miteinander verwoben sind. In einer für das Fach ungewöhnlich großen Zusammenarbeit konnten Forscher diese geheimnisvolle Verbindung nun erweitern.
Mond über einer bunt beleuchteten Hängebrücke im Hafen von TokioLaden...

Anfang der 1990er Jahre gelang dem englischen Zahlentheoretiker Andrew Wiles das Unfassbare: Er bewies eines der größten Rätsel der Mathematik. Jahrhundertelang hatten sich sowohl Experten als auch interessierte Laien an Fermats großem Satz die Zähne ausgebissen. Wegen seiner vermeintlichen Einfachheit zog er etliche Menschen in seinen Bann: Er besagt, dass es keine natürlichen Zahlen x, y und z gibt, welche die Gleichung xn + yn = zn für n größer als zwei erfüllen. Der französische Gelehrte Pierre de Fermat (1607–1665) notierte diese Behauptung an den Rand einer Kopie von Diophantus' »Arithmetica« und merkte an, er habe einen »wirklich wunderbaren Beweis« dafür entdeckt, aber ihm reiche der Platz dafür nicht aus. Das ermutigte viele, sich daran zu versuchen – allerdings ohne Erfolg.

Der Weg, der Wiles schließlich mit der Hilfe von Richard Taylor zum Ziel führte, war etwas, auf das Fermat niemals hätte kommen können. Anstatt sich dem Problem direkt zu widmen, arbeitete Wiles an einer bis dahin hypothe­tischen Verbindung zwischen zwei grundverschiedenen mathematischen Bereichen. Sein Beweis von Fermats großem Satz lief darauf hinaus, einen Zusammenhang zwischen zwei Teilgebieten dieser Bereiche nachzuweisen – so, als würde man eine Brücke zwischen zwei Ländern unterschiedlicher Kontinente errichten. Die Arbeit des englischen Mathematikers steckte voller tief greifender neuer Ideen, wodurch er eine Flut weiterer Ergebnisse auf beiden Seiten der nun verbundenen Gebiete auslöste.

So beeindruckend Wiles' Leistung auch ist, bildet sein Beweis nur einen kleinen Baustein zur Klärung eines viel größeren Rätsels …

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  • Quellen

Allen, P. B. et al.: Potential automorphy over CM fields. ArXiv 1812.09999, 2018

Boxer, G. et al.: Abelian surfaces over totally real fields are potentially modular. ArXiv 1812.09269, 2018

Calegari, F., Geraghty, D.: Modularity lifting beyond the Taylor-Wiles method. Inventiones mathematicae 211, 2018

Caraiani, A., Scholze, P.: On the generic part of the ­cohomology of non-compact unitary Shimura varieties. ArXiv 1909.01898, 2019

Wiles, A. J.: Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem. Annals of Mathematics 141, 1995