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Mathematische Unterhaltungen: Das Dreifarbenspiel

Manche speziellen Landkarten lassen sich mit nur drei Farben regelgerecht einfärben, und das Problem ist im konkreten Einzelfall sogar etwas übersichtlicher als das klassische Vierfarbenproblem. Der Mathematiker Martin Hilpert hat ein Spiel daraus gemacht.
Vier-Farben-Satz

Es ist möglich, die Länder jeder beliebigen Landkarte mit nur vier Farben so einzufärben, dass nirgendwo zwei Länder, die eine gemeinsame Grenze haben, dieselbe Farbe erhalten. Das ist der Vierfarbensatz. Er hat eine gewisse Berühmtheit erlangt, weil er einfach zu formulieren, aber sehr schwer zu beweisen ist, eine Eigenschaft, die er mit dem weitaus prominenteren großen fermatschen Satz teilt. Seit 1977 ist der Vierfarbensatz zwar bewiesen; doch der Beweis veranlasst manche Puristen – und nicht nur die – zu intensivem Naserümpfen. Am Ende mussten nämlich die Autoren Kenneth Appel und Wolfgang Haken den Computer zu Hilfe nehmen. Für knapp 2000 spezielle Karten war nachzuweisen, dass es einer Vierfärbung nicht im Wege steht, wenn eine von ihnen als Teil einer zu färbenden Karte vorkommt. Das ist zwar gelungen, und spätere Forscher konnten die Zahl der zu untersuchenden Einzelfälle sogar bis auf reichlich 600 drücken. So oder so ist ein Mensch allerdings nicht im Stande, den Beweis auch nur irgendwie nachzuvollziehen, was ein unbehagliches Gefühl hinterlässt.

Zu allem Überfluss gibt der Beweis einem kein Mittel an die Hand, eine gegebene Karte systematisch einzufärben. Der Anfang ist noch leicht …

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  • Literaturtipp

Kauffman, L. H.: Reformulating the map color theorem. Dis­crete Mathematics 302, 2005
Details zu den Umformulierungen des Vierfarbensatzes