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Chaosforschung: Das Ende des Schmetterlingseffekts

Angeblich folgt aus der Chaostheorie, dass Wettervorhersagen für Zeiträume von mehr als zwei Wochen unmöglich sind. Dieses Dogma ist mit Hilfe der statistischen Mechanik widerlegt worden.


Nur den Göttern des Olymps scheint die ewige Sonne. Den Menschen hingegen ist es seit jeher ein dringendes Bedürfnis zu wissen, welches Stück des Himmels ihnen demnächst auf den Kopf fallen wird. Innerhalb der letzten 2000 Jahre sind die verschiedensten Vorhersageverfahren angewendet worden, von Tieropfern und der Befragung von Orakeln bis hin zu umfangreichen Bauernregeln.

Erst in der Neuzeit gerieten diese jahrhundertelang praktizierten Methoden in Verruf. Die spektakulären Erfolge der Himmelsmechanik im 19. Jahrhundert nährten die Überzeugung, es müsse etwas Besseres geben als diese vorwissenschaftlichen Bemühungen, und die Wissenschaftler des 20. Jahrhunderts mühten sich nach Kräften, diesen Anspruch einzulösen. Aber atmosphärische Phänomene durch mathematische Gleichungen zu beschreiben und vor allem diese Gleichungen zu lösen, erwies sich als weitaus schwieriger als erwartet. Der allgemeine Optimismus, der noch in den fünfziger Jahren vorgeherrscht hatte, schlug daraufhin in sein krasses Gegenteil um, und die Begründung für den Pessimismus bekam auch noch einen hübschen Namen: Schmetterlingseffekt.

Der Flügelschlag eines Schmetterlings an einer Stelle der Erdoberfläche könne darüber entscheiden, ob zwei Wochen später an einer weit entfernten Stelle der Erde ein Tornado entsteht oder auch nicht. Da man offensichtlich nicht den Zustand aller Schmetterlinge der Welt in einem bestimmten Augenblick kennen kann, wäre es demnach unmöglich, den Zustand der Atmosphäre für mehr als zwei Wochen vorherzusagen.

Nun stellt sich heraus, dass dieser Pessimismus ebenfalls übertrieben ist. Ich weiß zwar auch nicht, wie man das Wetter in zwei Wochen vorhersagt; aber was immer uns daran hindert – die Schmetterlinge sind es nicht! Ein korrektes Forschungsergebnis ist unzulässig verallgemeinert worden. In diesem Artikel möchte ich darlegen, warum das – unbestritten vorhandene – Chaos nicht so überhand nimmt, wie die landläufige Vorstellung befürchten lässt.

In der langen Geschichte der physikalischen Vorhersage – seien es das Wetter oder auch die Bewegungen der Himmelskörper – gibt es ein entscheidendes Ereignis: Isaac Newton (1643-1727) entdeckte im 17. Jahrhundert die Bewegungsgleichungen der Planeten. Kennt man die Position und die Geschwindigkeit der Planeten zu einem bestimmten Zeitpunkt, so kann man ihre Bahnkurven für alle nachfolgenden Zeitpunkte ausrechnen. Da für alle mechanischen Systeme Gleichungen desselben Typs gelten, bestimmt der Anfangszustand eines Systems dessen Zukunft vollständig.

Pierre Simon Laplace (1749-1827) machte aus diesem mathematischen Resultat eine Ideologie: den Determinismus. Ihm zufolge kann es nichts Neues geben, weil alles, was geschehen kann, schon im Anfangszustand festgelegt ist. Das Problem der Vorhersage schien zumindest theoretisch gelöst.

Als in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die Mathematiker dann tatsächlich versuchten, die Bahnen von Gestirnen für die fernere Zukunft zu berechnen, wurden Zweifel am Laplaceschen Determinismus laut. Henri Poincaré (1854-1912) und Jacques Hadamard (1865-1963) entdeckten, dass selbst einfachste Systeme wie zum Beispiel drei Massenpunkte, die nur der Gravitation unterworfen sind, auf sehr komplizierte Bahnkurven führen. Darüber hinaus fanden sie, dass bei vielen Systemen schon geringste Änderungen von Anfangsposition oder -geschwindigkeit zu erheblichen Änderungen in den Bahnkurven führen. Da man den Anfangszustand niemals exakt kennt, kann man die Entwicklung eines derartigen Systems nicht über einen gewissen Zeitpunkt hinaus vorhersagen.

Die Arbeiten von Poincaré und Hadamard sind die Grundlagen der Theorie, die ab den siebziger Jahren unter dem Namen "Chaostheorie" einen großen Aufschwung nahm (heute bevorzugen die Fachleute den Namen "Theorie der dynamischen Systeme"). Die soeben angesprochene empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsdaten wurde eingehend untersucht. So zeigten die Astronomen, dass es unmöglich ist, den Zustand des Sonnensystems jenseits von einigen hundert Millionen Jahren zu kennen. Dafür müsste man in den Rechnungen die Form der Himmelskörper, die Auswirkungen der Gezeiten und viele andere Parameter berücksichtigen. Damit war der Laplacesche Determinismus zwar nicht widerlegt, aber als nahezu gegenstandslos faktisch erledigt: Seine Voraussetzung, die hinreichend genaue Kenntnis der Anfangsdaten, ist nur in seltenen Ausnahmefällen erfüllt.

Der Schmetterling schlüpft

Kehren wir zum Wetter zurück: In den fünfziger Jahren des 20. Jahrhunderts etablierte sich die "moderne" Meteorologie als groß angelegtes Gemeinschaftsprojekt von Atmosphärenphysik, Mathematik und Informatik. Anfang der sechziger Jahre führten die ersten leistungsfähigen Computer Berechnungen durch, die zuvor aussichtslos gewesen waren.

Zu dieser Zeit studierte der amerikanische Meteorologe Edward Lorenz ein vereinfachtes Modell der atmosphärischen Konvektion. Es war aus den klassischen Gleichungen für die innere Bewegung von Fluiden hergeleitet ("Fluid" ist der Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase), enthielt aber nur noch drei Freiheitsgrade, das heißt, der Zustand seines Systems war zu jedem Zeitpunkt durch drei reelle Zahlen vollständig gekennzeichnet. Das "physikalische Gesetz" des Systems bestand aus drei (gewöhnlichen) Differenzialgleichungen für diese Variablen.

Lorenz bemerkte – durch Zufall –, dass es nicht möglich ist, die Entwicklung seines Modells langfristig vorherzusagen, da die kleinste Störung des Anfangszustandes auf die Dauer erhebliche Auswirkungen hat. Die dadurch entstehende Unsicherheit wächst exponentiell mit der Zeit: Wenn sie sich beispielsweise nach einer Stunde verdoppelt hat, ist sie nach einer weiteren Stunde viermal so groß, nach der dritten Stunde achtmal und so weiter. Als Lorenz den Zustand des Systems als Punkt im (dreidimensionalen) Raum darstellte, bemerkte er, dass der Punkt sich im Laufe der Zeit an ein komplexes Gebilde anschmiegt. Aufgrund dieser Eigenschaft nennt man es einen "Attraktor", und zwar einen "seltsamen" wegen seiner ungewöhnlichen topologischen Eigenschaften. Dieser spezielle Attraktor heißt heute "Lorenz-Attraktor".

Nach diesen Arbeiten am vereinfachten System wandte sich Lorenz den atmosphärischen Luftbewegungen im Großen zu. In erster Näherung fasste er die Atmosphäre als zweidimensionales ideales Fluid auf, das heißt, er vernachlässigte ihre Dicke und die Viskosität der Luft. Beide Vereinfachungen sind sinnvoll, denn verglichen mit ihrer horizontalen Ausdehnung ist die Atmosphäre eine sehr dünne Gasschicht, und die innere Reibung unter den Gasmolekülen ist in der Tat vernachlässigbar. Lorenz arbeitete, um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten, wieder mit wenigen Freiheitsgraden, diesmal einigen Dutzend, und fand abermals eine exponentiell empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen.

Ein realistisches Modell der Atmosphäre müsste sehr viele Freiheitsgrade enthalten: Die Werte für den Luftdruck, die Komponenten der Windgeschwindigkeit, die Luftfeuchtigkeit und andere sind theoretisch für jeden Punkt auf der Erde zu bestimmen, in der Praxis für ein hinreichend dichtes Netz von Punkten. Wenn es schon bei wenigen Freiheitsgraden so schwierig ist, die Zukunft vorherzusagen, dann, so glaubte Lorenz, könne die Situation bei den weitaus zahlreicheren Variablen eines realistischen Modells nur noch viel schlimmer sein.

Mit seinen Arbeiten hatte Lorenz Einsichten von Poincaré und Hadamard wiederentdeckt: Es ist nicht immer möglich, die Entwicklung eines einfachen Systems auszurechnen. Darüber hinaus hatte er gezeigt, dass dieses Problem nicht nur die Himmelsmechanik betrifft, sondern zum Beispiel auch Vorgänge in der Atmosphäre.

Wenn die Entwicklung der Atmosphäre so instabil sei, wie Lorenz behaupte, dann würde ja der Flügelschlag einer Möwe genügen, um ihre Entwicklung grundlegend zu verändern, wandte ein (namentlich nicht bekannter) Zuhörer in einem Vortrag von Lorenz ein. Dies sei in der Tat der Fall, erwiderte Lorenz und berechnete die sich nach einem Zeitraum von etwa zwei Wochen ergebenden Änderungen. Im Laufe dieser Auseinandersetzung wurde aus der Möwe ein Schmetterling, und der "Schmetterlingseffekt" war geboren.

Ungefähr zur gleichen Zeit schuf Vladimir Arnold, ein Mathematiker am Steklov-Institut in Moskau, einen völlig anderen Zugang zum selben Problem. Aufbauend auf den Ideen seines Lehrers Andrej Kolmogorow (1903-1987) betrachtete er die Bewegung eines Punktes auf einer gekrümmten Fläche. Der Punkt ist keinen Kräften ausgesetzt, abgesehen davon, dass er gezwungen ist, auf der Fläche zu bleiben, und im Übrigen nur von seiner Trägheit getrieben. Unter diesen Umständen folgt er einer speziellen Kurve auf der Fläche; sie heißt "Geodätische", weil sie zwischen je zwei ihrer – nicht allzu weit entfernten – Punkte die kürzeste Verbindung auf der Fläche ist. Lässt man zwei Punkte mit geringfügig verschiedenen Anfangspositionen und -geschwindigkeiten loslaufen, so werden ihre Bahnen zumindest eine Weile nahe beieinander bleiben.

Punkte wandern auf krummen Flächen

Ein deutlich anderes Bild ergibt sich, wenn die Fläche in jedem ihrer Punkte negativ gekrümmt ist. Solche Flächen sehen in jedem Punkt so aus wie der Sattel eines Pferdes: Steht man auf der Fläche und schaut in eine Richtung, so ist die Fläche von einem weg gekrümmt; schaut man in die dazu senkrechte Richtung, so ist sie auf einen zu gekrümmt. Hadamard hatte gezeigt, dass die Bewegung eines Punktes auf einer solchen Fläche exponentiell instabil ist: Verändert man den Anfangspunkt oder die Anfangsgeschwindigkeit nur ein wenig, so gerät die neue Bahnkurve auf die Dauer weit weg von der alten.

Ein einzelner Sattelpunkt einer Fläche ist so etwas wie ein Scheideweg: Je nachdem, ob der bewegte Punkt haarscharf links oder rechts neben den Sattelpunkt gerät, läuft er in das eine oder das andere "Tal" weiter. Eine negativ gekrümmte Fläche besteht sozusagen nur aus Scheidewegen; also werden sich auch die Wege ursprünglich eng benachbarter Punkte irgendwann trennen. In der Praxis ist es nicht möglich, ihre Bahnkurven für einen längeren Zeitraum auszurechnen.

Arnold gelang es nun, die Bewegung eines idealen Fluids durch diejenige eines Punktes auf einer "Fläche" zu beschreiben. Damit führte er das Problem der hydrodynamischen Instabilität auf eine Berechnung von Krümmungen zurück. Die "Fläche" ist dabei sehr eigenartig. Sie hat nämlich unendlich viele Dimensionen; gleichwohl kann man wie bei einer gewöhnlichen Fläche ihre Krümmung und die geodätische Bahn eines Punktes definieren. Der ganze Zustand der Atmosphäre, genauer: die Windgeschwindigkeit in jedem Punkt (das so genannte Geschwindigkeitsfeld) entspricht also einem einzigen Punkt auf dieser "Fläche", der sich mit der Zeit bewegt. Arnold gelang es sogar, deren Krümmung zu berechnen und zu zeigen, dass die Bewegungen eines idealen Fluids geodätischen Bahnen analog sind.

Offensichtlich ist die Realität der Luftbewegung viel komplizierter. Immerhin konnte man Arnolds Rechnungen entnehmen, dass nicht nur die Bahn des ganzen Systems, sondern auch die jedes Fluidteilchens exponentiell instabil ist: Zwei ursprünglich eng benachbarte Luftmoleküle werden sich in aller Regel im Laufe der Zeit so schnell voneinander entfernen, dass ihre Abstände sich in konstanten Zeitintervallen verdoppeln.

Am Ende der sechziger Jahre waren also zu den alten Erkenntnissen Poincarés und Hadamards über die empfindliche Abhängigkeit dynamischer Systeme von den Anfangsdaten zwei neue hinzugekommen: zum einen die empirischen Funde von Lorenz über ein Atmosphärenmodell mit zunächst drei, dann einigen Dutzend Freiheitsgraden, zum anderen die Untersuchungen von Arnold über ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden. Beide Systeme zeigten exponentielle Instabilität. Im Verein mit den praktischen Schwierigkeiten der Wettervorhersage fügten sich diese Ergebnisse zu einem schlüssigen Bild: Die Bewegungen der Atmosphäre seien wegen ihrer exponentiell empfindlichen Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen prinzipiell nicht vorhersagbar. Damit war der Schmetterlingseffekt von einer seltsamen Eigenschaft eines speziellen Systems zu einem allgemein gültigen Prinzip aufgestiegen.

Der Schmetterling schlägt mit den Flügeln

Das eingängige und leicht verständliche Bild vom Schmetterling fand weite Verbreitung und verdrängte als neues Paradigma gar den Laplaceschen Determinismus. Andere Disziplinen wie Ökonomie und Soziologie griffen es begierig auf, und mehr oder weniger berufene Philosophen huben an, die Welt in "modernen" Begriffen wie Chaos, Komplexität und Nicht-Vorhersagbarkeit neu zu denken. Nur hält der Schmetterlingseffekt bei genauerem Hinsehen einer detaillierteren Analyse nicht Stand.

In den letzten Jahrzehnten untersuchten die Meteorologen, wie sich ein Anfangsfehler in den Modellen fortsetzt, die zur Wettervorhersage verwendet werden. Dabei stellten sie fest, dass nach einer kurzen Zeitspanne von etwa ein bis zwei Tagen die Störungen nicht mehr exponentiell anwachsen, wie den Ergebnissen von Lorenz entsprochen hätte, sondern nur linear, das heißt proportional zur verflossenen Zeit. Wie ist dieser Widerspruch zum Schmetterlingseffekt zu erklären?

Für Lorenz und die vielen, die seiner Argumentation folgten, war die Übertragung seiner Ergebnisse von wenigen auf viele Freiheitsgrade sehr nahe liegend. Sie übersahen allerdings, dass genau dabei neue Phänomene statistischer Natur ins Spiel kommen. Sie bilden die Grundlage der statistischen Mechanik, die Ludwig Boltzmann (1844-1906) gegen Ende des 19. Jahrhunderts entwickelte.

Betrachten wir ein bekanntes Beispiel: vier oder fünf Gasmoleküle in einem abgeschlossenen Volumen. Diese stehen miteinander und mit den Wänden ihres Behälters in Wechselwirkung. Will man das Verhalten dieses kleinen Systems auf lange Sicht berechnen, stößt man auf dieselben Schwierigkeiten wie Lorenz: Man kann nicht vorhersagen, welche Bahnen die Moleküle durchlaufen werden.

Betrachten wir nun andererseits das System aus den ungefähr 10E26 Gasmolekülen, die bei normalem Luftdruck in einem Behälter von einem Liter Volumen enthalten sind. Die Bewegung jedes einzelnen Moleküls präzise zu berechnen ist nicht nur praktisch, sondern auch im Prinzip ausgeschlossen: Was bei fünf Molekülen schon nicht gelingen kann, ist bei einer solch astronomischen Anzahl erst recht unmöglich. Dagegen sind statistische Mittelwerte wie Dichte, Druck und Temperatur sehr wohl langfristig berechenbar. So kann man beispielsweise mit sehr großer Genauigkeit vorhersagen, dass die Dichte im gesamten Gasvolumen räumlich und zeitlich konstant bleiben wird.

Die ordnende Wirkung der großen Zahlen

Wie schon Boltzmann bemerkte, liegt der Grund für diese Vorhersagbarkeit ausgerechnet am Chaos im Kleinen: Eben weil die Moleküle keinem einheitlichen Einfluss unterworfen sind, sondern ungeheuer vielen Stößen untereinander und mit den Behälterwänden, neigen sie dazu, den gesamten verfügbaren Raum auszufüllen. Auch wenn man sie anfänglich alle in einer Ecke zusammendrängt, verbleiben sie dort nicht, wegen ihrer ungeordneten Bewegungen.

Statistische Mittelwerte wie den Druck nennt man "makroskopische Observable", während die Bahnen der einzelnen Moleküle "mikroskopische Observable" heißen. Boltzmanns Resultat lässt sich somit wie folgt ausdrücken: Im Falle vieler Freiheitsgrade können die makroskopischen Observablen vorhersagbar sein, obwohl es die mikroskopischen nicht sind.

Bevor wir weitergehen, machen wir einen Ausflug ins Gebiet der Turbulenzen, weil die Atmosphäre ein turbulentes Fluid ist.

Nur wenn die innere Reibung unter den Molekülen eines Fluids dominiert, ist dessen Strömung geordnet ("laminar"). Die Strömungen, die man in der Praxis im menschlichen Maßstab beobachtet (Flüsse, Luftbewegungen und anderes), sind im Allgemeinen turbulent, das heißt komplex und ungeordnet, ebenso wie die Strömungen in der Atmosphäre oder in den Ozeanen.

Wir interessieren uns besonders für zweidimensionale turbulente Strömungen, also für solche, die in der Ebene oder auf einer Fläche stattfinden. Das ist, wie oben dargestellt, für die Lufthülle der Erde oder auch für die Ozeane eine sinnvolle Näherung, weil die Dicke dieser Fluide im Vergleich zu ihrer horizontalen Ausdehnung vernachlässigbar ist.

Weiter gehen wir davon aus, dass die Luft in der Atmosphäre sich so verhält, als wäre sie inkompressibel (als würde ihr Volumen durch Druckerhöhung nicht abnehmen); dies trifft zumindest im großen Maßstab zu. Unter diesen Voraussetzungen ist die Strömung bereits eindeutig bestimmt durch eine für jeden Punkt definierte Größe, die so genannte "Wirbeldichte" (vorticity). Diese gibt an, wie schnell das Fluid in der Umgebung des jeweiligen Punktes rotiert (die Wirbeldichte ist die Rotation des Geschwindigkeitsvektors): An jedem Punkt sitzt gewissermaßen ein kleiner Kreisel. Das Fluid besteht aus sehr vielen Kreiseln, die sich nicht unbedingt alle in dieselbe Richtung drehen. In der Bewegung des Fluids schwimmen die Kreisel mit. In unserem Fall bleibt die Wirbeldichte der Fluidteilchen unverändert: Die Kreisel bewegen sich zwar mit der Strömung, behalten aber ihre Rotation bei, weil sie mangels innerer Reibung keine Wechselwirkung miteinander haben.

Während also zweidimensionale inkompressible Strömungen im Kleinen chaotisch verlaufen, beobachtet man im Großen, dass sich die Turbulenzen ordnen und so genannte "kohärente Strukturen" entstehen. Diese großen Strukturen bestehen aus einem Wirbel, einem Paar gegenläufiger, gekoppelter Wirbel, gelegentlich auch aus drei oder mehr Wirbeln. Sie erstrecken sich in der Erdatmosphäre über mehrere tausend Kilometer; an den Wolken, die der Luftbewegung folgen, kann man sie Tag für Tag auf Satellitenfotos erkennen. Ein spektakuläres Beispiel für eine kohärente Struktur ist der rote Fleck auf dem Jupiter, ein gigantischer Wirbel in einer dünnen Gasschicht an der Oberfläche des Planeten.

Es ist charakteristisch für zweidimensionale Strömungen, dass sie systematisch solche kohärenten Strukturen ausbilden. Nach ihrem Auftreten bleiben diese dem allgemeinen Chaos zum Trotz erhalten, was den Beobachtern lange Zeit Rätsel aufgegeben hat. Warum werden sie durch die starken Turbulenzen, in die sie eingebettet sind, nicht zerstört?

Ein Wirbel, beispielsweise in einem Fluss, ist lokal durch eine erhöhte Wirbeldichte gekennzeichnet, das heißt, dass viele gleichsinnige Kreisel in der Umgebung eines Punktes konzentriert sind. Warum aus solchen elementaren Wirbeln kohärente Wirbelsysteme entstehen sollten, ist zunächst nicht einleuchtend, im Gegenteil: Die Wirbel interagieren in komplexer Weise miteinander, wobei sie gelegentlich in mehrere kleinere Teile zerfallen. Gleichwohl organisiert sich die Strömung schließlich in einigen einfachen, zeitlich stabilen Strukturen. Ein Beispiel ist das Azorenhoch, das sich verformt und umherwandert, aber im Großen und Ganzen in derselben Region verbleibt. Im Laufe der letzten zwanzig Jahre ist es gelungen, das Auftreten stabiler Wirbel in turbulenten Strömungen numerisch zu simulieren.

Mikro- und makroskopische Variablen

Die theoretische Begründung für dieses Verhalten ist in der statistischen Mechanik zu finden. Der norwegisch-amerikanische Physiker Lars Onsager (1903- 1976) hatte 1949 bemerkt, dass die kinetische Energie einer Flüssigkeit in einer zweidimensionalen turbulenten Strömung erhalten bleibt. Im Zusammenhang damit schlug er vor, die stabilen Wirbel als Gleichgewichtszustände im Sinne der statistischen Mechanik Boltzmanns zu beschreiben.

Dieses Vorhaben litt lange unter großen theoretischen Schwierigkeiten, die sich erst auflösten, als man zwei Größenskalen einführte: Die "makroskopische" Skala betrifft die Bewegung im großen Maßstab (typische Länge im Falle der Erdatmosphäre: einige tausend Kilometer) unter Vernachlässigung von Einzelheiten. Auf dem "mikroskopischen" Niveau beschreibt man, was im Kleinen geschieht, also in der Größenordnung (einige Kilometer), in der sich das Chaos der Turbulenzen entfaltet. Nach dem Vorbild Boltzmanns definiert man eine Entropie, also eine Größe, welche die Unordnung (hier verursacht durch die Turbulenz) quantifiziert. Und zwar erhält man die Entropie eines makroskopischen Zustands, indem man die ihm entsprechenden mikroskopischen Zustände abzählt. Je größer diese Anzahl, desto größer ist die Entropie. In der Realität beobachtet man stets den Makrozustand mit der größten Wahrscheinlichkeit; das ist derjenige, der die meisten Mikrozustände auf sich vereinigt, also derjenige, der die Entropie maximal macht. In der Atmosphäre entsprechen diese Zustände gerade den kohärenten Wirbelstrukturen.

Beschreiben wir genauer, wie kohärente Strukturen entstehen. Im Anfangszustand variiert die Wirbeldichte stetig von einem Punkt im Fluid zum nächsten: Benachbarte Kreisel drehen sich ungefähr mit derselben Geschwindigkeit. Die turbulente Strömung verursacht eine komplexe Bewegung auf der kleinen Größenskala. Dadurch vermischen sich Kreisel unterschiedlicher Geschwindigkeiten miteinander, und die Wirbeldichte variiert in chaotischer Weise: In unmittelbarer Nachbarschaft eines langsamen Kreisels findet sich ein sehr schneller. Es ist unmöglich, die Wirbeldichte für einzelne Punkte der Flüssigkeit vorherzusagen. Dennoch führen die inkohärenten Änderungen der Wirbeldichte im Kleinen zur Herausbildung von Strukturen im Großen.

Der Übergang von der mikroskopischen Variablen Wirbeldichte zum makroskopischen Geschwindigkeitsfeld der Atmosphäre ist analog dem Übergang von der Bewegung der Gasmoleküle zur makroskopischen Variablen Druck: Durch die chaotische Bewegung füllen die Moleküle den Behälter gleichmäßig aus und stoßen gelegentlich gegen die Wände. Der Druck errechnet sich durch Mittelung aus all diesen Stößen, und sein Wert ist für jeden Punkt der Wände derselbe. Ebenso ist das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung ein statistisches Mittel der Wirbeldichten. Es ist allerdings im Gegensatz zum Druck nicht räumlich konstant, sondern zeigt strukturierte Wirbel.

Aus der statistischen Mechanik folgt auch, dass das Geschwindigkeitsfeld als makroskopische Variable vorhersagbar ist – zumindest theoretisch. Widerspricht dies den Erkenntnissen von Arnold? Nein, denn seine Berechnungen zeigen nur, dass die mikroskopischen Bahnkurven der Fluidteilchen in der Zeit von exponentieller Instabilität sind. Ursprünglich benachbarte Kreisel laufen weit auseinander, wodurch schnelle und langsame Kreisel vermischt werden. Dieses Phänomen verursacht chaotische Veränderungen der Wirbeldichte im Kleinen, die aber letztendlich auf dem makroskopischen Niveau ein vorhersagbares Geschwindigkeitsfeld erzeugen.

Es ist uns gelungen, diese theoretischen Überlegungen zu bestätigen, und zwar durch numerische Simulationen für die Bewegung eines idealen zweidimensionalen Fluids mit einer großen Zahl von Freiheitsgraden. Das heißt, wir haben die Berechnungen von Lorenz wiederholt, aber mit sehr vielen Freiheitsgraden anstelle von einigen Dutzend.

Wir gaben unserem System einen speziellen Anfangszustand (Wert der Wirbeldichte in jedem Punkt) vor; dann ließen wir das System sich entwickeln. Nach einer relativ kurzen Übergangsphase kam eine geordnete Struktur zum Vorschein, und zwar je nach Anfangszustand eine kohärente Struktur aus drei gekoppelten Wirbeln, die als Ganzes gleichförmig rotieren, oder zwei Paare gegenläufiger Wirbel, die sich mit konstanter Geschwindigkeit voneinander entfernen. Derartige Strukturen findet man auch in der Atmosphäre und in den Ozeanen.

Wo bleibt der Schmetterlingseffekt?

Ändern wir in den vorangehenden Simulationen die Anfangsbedingungen geringfügig. Im ersten Fall hat die Störung keinerlei Auswirkung auf die Herausbildung der Struktur: Man erhält dieselben drei gekoppelten Wirbel. Die Energie der Störung nähert sich rasch einem konstanten Wert, der klein ist im Verhältnis zur Gesamtenergie des Systems. Auch im zweiten Fall führt eine Störung zu keiner merklichen Änderung: Man findet die beiden Paare von Wirbeln wieder. Allerdings wächst die Energie der Störung linear mit der Zeit.

Wenn man aber den Anfangszustand auf die Grenze zwischen den beiden vorangehenden Fällen legt, weiß das System gewissermaßen nicht, was es tun soll. In diesem kritischen Fall – und nur in diesem – verhalten das gestörte und das ungestörte System sich unterschiedlich. Die Energie der Störung entwickelt sich zu Beginn wie bei den beiden anderen Fällen, geht dann aber schlagartig zu exponentiellem Wachstum über. Die berüchtigte exponentielle Instabilität tritt also nur in dieser außergewöhnlichen Situation auf, in der das System am Scheideweg zwischen zwei Entwicklungen steht: einem "Phasenübergang".

Wiederholen wir dieselben Rechnungen mit einer verringerten Anzahl an Freiheitsgraden, so bildet sich keine kohärente Struktur mehr heraus. Vielmehr zeigt sich ein turbulentes Chaos, das schließlich den ganzen Raum einnimmt. Die Energie der Störung nimmt schnell zu und wird vergleichbar der Gesamtenergie des Systems; damit bestätigen sich die Beobachtungen von Lorenz.

Diese numerischen Simulationen zeigen, dass sich das System sehr unterschiedlich entwickelt je nachdem, ob man wenige oder viele Freiheitsgrade berücksichtigt. In dem letzteren – realitätsnäheren – Fall lässt sich das Geschwindigkeitsfeld des Fluids vorhersagen, obwohl auf Grund der Turbulenzen im Kleinen die Bahnkurven der einzelnen Fluidteilchen chaotisch und unvorhersagbar sind. Insbesondere ist das Verhalten des Systems, von Ausnahmesituationen abgesehen, nicht exponentiell empfindlich gegen kleine Änderungen der Anfangsbedingungen.

Nun sind auch unsere Simulationen der Realität noch nicht besonders nahe: Die Erdatmosphäre ist wesentlich komplexer als das ideale zweidimensionale Fluid, das wir hier betrachtet haben. Gegen diesen Einwand ist zweierlei zu erwidern: Erstens ist das System, an dem Lorenz zu seiner der unsrigen entgegengesetzten Schlussfolgerung gelangte, im Prinzip dasselbe wie unseres, nur noch vereinfachter und deswegen der Realität noch ferner. Zweitens haben die komplexeren Systeme, welche die atmosphärischen Strömungen realistischer nachbilden, dieselben Eigenschaften wie unseres: Chaos im Kleinen, Nichtvorhersagbarkeit der Bahnkurven einzelner Fluidteilchen und Ausbildung kohärenter Strukturen.

Unsere Untersuchungen über die empfindliche Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen beziehen sich auf einen speziellen Mechanismus der Selbstorganisation, der – obwohl ausgewählt wegen seiner Instabilität – nicht alle möglichen zweidimensionalen Strömungen umfasst. Dennoch ist er repräsentativ für die Phänomene, die man in der Atmosphäre beobachtet, insbesondere die Herausbildung kohärenter Strukturen, die sich um unseren Planeten herum bewegen und miteinander wechselwirken, wie die Hoch- und Tiefdruckgebiete. Andere Autoren haben in ihren Simulationen dasselbe Phänomen gefunden wie wir: Die Energie der Störung wächst meist linear, nur sehr selten exponentiell – in Übereinstimmung mit den Beobachtungen der Meteorologen.

Und nun die Wettervorhersage für die nächsten zwei Wochen

Damit ist die Möglichkeit von Vorhersagen neu und optimistischer zu bewerten: Die Unsicherheit einer Vorhersage verdoppelt sich nicht in konstanten Zeitabständen, wie Lorenz behauptete, sondern wächst linear (sie verdoppelt sich, wenn sich die Zeit verdoppelt). Somit sind auch die von Lorenz genannten zwei Wochen keine unüberwindliche Grenze der Vorhersagemöglichkeiten. Eine bessere Kenntnis des Anfangszustands durch ein dichteres Netz von Beobachtungsstationen, leistungsfähigere Computer sowie bessere physikalische Modelle und numerische Verfahren können diese Grenze hinausschieben.

Allerdings ist dieser Optimismus zu dämpfen: Wie wir gesehen haben, bleibt die Vorhersage unsicher in den kritischen Situationen, in denen das System zwischen zwei Möglichkeiten schwankt. Lokale Vorhersagen wie beispielsweise solche von Gewittern sind noch viel schwieriger, weil sie die Details der Erdoberfläche berücksichtigen müssen.

Der Schmetterlingseffekt wird bei allen möglichen Gelegenheiten zitiert, selbst in der Ökonomie und in der Soziologie, um zu betonen, dass die Wirkungen kleiner Störungen und damit das Verhalten des ganzen Systems prinzipiell unvorhersagbar seien. Das mag im Einzelfall sogar zutreffen; nur gilt stets der statistische Einwand: Soweit es um makroskopische Größen geht, das heißt um Mittelwerte aus sehr vielen Einzelkomponenten, ist deren chaotisches Verhalten kein Hindernis für die Vorhersagbarkeit. Die Moleküle in einem Kochtopf, einer Dampfmaschine oder einem Luftballon verhalten sich jedes für sich sehr chaotisch; aber wenn der Ballon platzt – oder sonst etwas Unerwartetes geschieht –, liegt es nicht am Chaos.

Literaturhinweise


Long range predictability of atmospheric flows. Von Raoul Robert und Carole Rosier in: Nonlinear Processes in Geophysics, Bd. 8, S. 55, 2001.

Prévision déterministe et statistique de l?environnement et de la turbulence. Von J. Hunt in: Turbulence et déterminisme, hrsg. von M. Lesieur. Presses universitaires de Grenoble, 1998.

Topological methods in hydrodynamics. Von V. I. Arnold und B. A. Khesin. Springer, 1996.

Statistical equilibrium states for two-dimensional flows. Von R. Robert und J. Sommeria in: Journal of Fluid Mechanics, Bd. 229, S. 291, 1991.


Glossar


Dynamisches System: die mathematische Modellierung eines sich zeitlich verändernden Systems samt einer Vorschrift, die aus dem Zustand des Systems zu einem Zeitpunkt den Zustand für künftige Zeitpunkte eindeutig bestimmt.

Phasenraum: die Menge aller Zustände, die das System einnehmen könnte. Dem Zustand des Systems entspricht also ein Punkt, der mit der Zeit in dem (geometrisch interpretierten) Phasenraum wandert.

Attraktor: eine Teilmenge des Phasenraums, welcher der Systemzustand im Laufe der Zeit immer näher kommt. Das einfachste Beispiel eines Attraktors ist ein stabiler Gleichgewichtszustand: Er besteht nur aus einem Punkt.


Die Entstehung großräumig geordneter Strukturen


Die Bewegung eines idealen inkompressiblen zweidimensionalen Fluids, beispielsweise der Atmosphäre, wird durch die so genannte Wirbeldichte eindeutig beschrieben: Jedem Punkt wird ein sehr kleiner "Kreisel" zugeordnet, der durch die Strömung fortgetragen wird, wobei er seine Rotationsgeschwindigkeit beibehält.

Im instabilen Anfangszustand ist die Wirbeldichte ei-ne stetige Funktion des Ortes: Benachbarte Kreisel rotieren mit nahezu derselben Geschwindigkeit. Treffen zwei gegenläufige Strömungen aufeinander, so entstehen Turbulenzen ; gelegentlich haben zwei benachbarte Punkte sehr unterschiedliche Wirbeldichten. Im Kleinen lässt sich die Wirbeldichte aller Punkte nicht vorhersagen. Dennoch bildet die Flüssigkeit im Großen kohärente Strukturen heraus. Es herrscht also Ordnung, obwohl im Kleinen das Chaos weiter besteht.

Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 2001, Seite 66
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
11 / 2001

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 11 / 2001

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Model Error in Weather Forecasting -> http://www.beatrizl.freeserve.co.uk/math.html