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Vierdimensionale Geometrie: Das ikosidodekaedrische Prismatohexakosihekatonikosachoron

In vier Dimensionen gibt es weitaus mehr archimedische Körper als in den gewöhnlichen drei. Obendrein sind die meisten von ihnen groß und prachtvoll.
Geometrie

Für uns beschränkte dreidimensionale Wesen ist der vierdimensionale Raum neu, unbekannt und vielleicht auch ein bisschen beängstigend, auf jeden Fall sehr gewöhnungsbedürftig. Ich habe in früheren Folgen dieser Rubrik von einer Reise in jene Gegend berichtet, wo man einen ganzen Menschen um seine Kragenebene knicken kann, ohne dass es weh tut, und wo es sehr schwierig ist, jemanden einzusperren: Während bei uns eine Kiste mit vier Seitenwänden, Boden und Deckel genügt, müssen es dort gleich acht massive, sprich dreidimensionale Klötze sein (Spektrum der Wissenschaft 11/2004, S. 101, und 12/2004, S. 106).

Aus der Perspektive der vierten Dimension sind diese Klötze allerdings beliebig dünn, ebenso wie die Seitenflächen, die einen gewöhnlichen Würfel begrenzen, dünne Quadrate sind. Ein vierdimensionaler Würfel hat nicht nur sechs, sondern acht "Grenzflächen" – nur sind es eben keine Flächen, sondern dreidimensionale Körper; man nennt sie "Zellen". Allgemein besteht der Rand eines n-dimensionalen Körpers aus (n–1)-dimensionalen Körpern: Der vierdimensionale Würfel, in der Literatur häufig als "Tesserakt" bezeichnet, ist begrenzt von dreidimensionalen Würfeln und die wiederum von zweidimensionalen regelmäßigen Körpern – in diesem Fall Quadraten. Manchmal ist es nützlich, diese Vereinheitlichung noch weiter zu treiben, auch wenn die Bezeichnungen "eindimensionaler regelmäßiger Körper" für eine Strecke und "nulldimensionaler regelmäßiger Körper" für einen Punkt etwas albern und hochtrabend wirken...

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  • Erratum
In der Bildunterschrift zum Bild auf S. 62 oben sind bei den beiden letzten der fünf abgebildeten Körper die Namen verwechselt worden. Es muss heißen "das große [nicht das kleine] Rhombenkuboktaeder (4, 6, 8)" (drittletzte Zeile) und "das kleine [nicht das große] Rhombenkuboktaeder (3, 4, 4, 4)" (letzte Zeile). Heinrich Bubeck aus Ravensburg hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.