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Zahlentheorie: Das Schicksal einer Zahlenfolge

Sie ist sehr einfach definiert, springt aber wild und unkontrolliert durch die natürlichen Zahlen: die Collatz-Folge. Bis heute weiß man nicht, ob sie in jedem Einzelfall irgendwann bei der Eins ankommt.
Collatz-FolgeLaden...
Auf S. 73, mittlere Spalte unten, muss es "dem ewigen Zyklus 1, 4, 2, ..." (nicht 1, 2, 4) heißen. Richard Wernig aus Straßburg (Kärnten) hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.

Es gibt ein paar mathematische Probleme, die sind mit einigen wenigen Sätzen zu formulieren; aber ihre Lösung erfordert die abenteuerlichsten mathematischen Konstruktionen und passt nur mit Mühe auf mehrere hundert Seiten schwierigster Abhandlungen – wenn sie überhaupt existiert. Ein paar populäre Beispiele:

  • Quadratur des Kreises: Konstruiere mit Zirkel und Lineal ein Quadrat, das einem gegebenen Kreis flächengleich ist.
  • Fermats letzter Satz: Beweise, dass es keine natürlichen Zahlen a, b, c und n mit n>2 gibt, welche die Gleichung an + bn = cn erfüllen.
  • Goldbachs Vermutung: Beweise, dass jede gerade Zahl >4 Summe zweier Primzahlen ist.

Das erste Problem ist unlösbar. Das hat Ferdinand Lindemann 1882 bewiesen – ein bisschen spät, wenn man bedenkt, dass schon die Griechen der Antike viele Gedanken darauf verwendeten, aber immerhin. Das zweite Problem haben Andrew Wiles und Richard Taylor 1994 gelöst; das dritte ist noch offen und Gegenstand intensiver Bemühungen.

Bei aller Verschiedenheit haben die ersten beiden Probleme dem dritten eins voraus: Sie sind erledigt. Weitere Bemühungen erübrigen sich. Das mag man für unbefriedigend halten – aber es könnte noch schlimmer kommen. Vielleicht gibt es Probleme, die nicht nur unlösbar, sondern sogar unerledigbar sind, "unsettleable", wie der große Mathematiker und Spieleerfinder John Horton Conway es nennt. Dann wäre vielleicht tatsächlich jede gerade Zahl oberhalb von 4 Summe zweier Primzahlen, aber man könnte es nicht beweisen. Zu allem Überfluss wäre diese Unbeweisbarkeit beweisbar – oder auch nicht. ...

Februar 2014

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Februar 2014

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  • Quellen und Literaturhinweise

Conway, J. H.: On Unsettleable Arithmetical Problems. In: The American Mathematical Monthly 120, S. 192 - 198, 2013

Trümper, M.: Handles, Hooks, and Scenarios: A fresh Look at the Collatz Conjecture. In: General Mathematics, 9. Dezember 2008

Trümper, M.: The Collatz Problem in the Light of an Infinite Free Semigroup. In: Chinese Journal of Mathematics, Volume 2014, Article ID 756917

Bruschi, M.: Two Cellular Automata for the 3x+1 Map In: Cellular Automata and Lattice Gases, 26. Februar 2005

Letherman, S., Schleicher, D., Wood, R.: The 3n+1-Problem and Holomorphic Dynamics. In: Experimental Mathematics, 8, 241 - 251, 1999

Lagarias, J. C.: The 3x+1 Problem and its Generalizations. In: The American Mathematical Monthly 92, S. 3 - 23, 1985