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Denken Mathematiker logisch?

Wie kommt ein Mathematiker auf seine Ideen? Ist es die schiere, weltabgewandte Logik? Oder spielt gelegentlich ein gewisser Realismus eine Rolle?

Logbuch, Sterndatum 2291,1: „Das Raumschiff Wahnwitz ist auf dem Weg zum Krebs-Nebel gerade knapp einer Geldstrafe wegen Parkens an einer blau-roten Galaxie entkommen. Die Mannschaft ist in aufgekratzter Stimmung. Wahrscheinlich liegt das an den sechzehn Kisten Beteigeuzeschen Rote-Beete-Saftes, die wir bei unserem letzten Halt eingeladen hatten...“

Captain Jonah T. Kink legte seinen Sternflotten-Schreibstift nieder und stützte den Kopf in beide Hände, um sich auf den nächsten Satz zu konzentrieren. Er hatte einen gewaltigen Kater.

„Einen logischen Morgen, Captain!“ Es war Pock, der erste Offizier. Kink starrte benebelt in das vertraute spitzohrige Gesicht. „Ich glaube, ich habe unsere Wette von gestern abend gewonnen.“

Kink konnte sich weder an eine Wette noch an irgend etwas sonst erinnern.

„Captain, Sie werden doch noch wissen, daß wir verschiedener Ansicht über die Bewußtseinsprozesse der Mathematiker waren.“ Kink konnte sich kaum einen exotischeren Grund für einen Dissens vorstellen, aber dieser Rote-Beete-Saft hat es eben in sich. „Sie ließen sich auf eine kleine Wette ein.“

„Aha. Und zwar?“

„Ich behauptete, daß die Denkprozesse der Mathematiker wie bei uns Vulgariern von reinster Logik bestimmt werden. Sie dagegen bezogen sich vage auf Intuition, Probieren, induktives Schließen und Verallgemeinerung.“

„Ja“, fiel Lenny McCool, der Schiffsarzt, ein. „Dann sagten Sie, Sie könnten beweisen, daß die Logik irreführend sei. ,Nur die Elefanten und die Wale gebären Kinder, die mehr als 100 Kilogramm wiegen‘, sagten Sie. ,Der arkturische Präsident wiegt 120 Kilogramm. Also wäre die Mutter des arkturischen Präsidenten...‘“ Kink stöhnte. Der arkturische Präsident und seine Mutter waren als Gäste mit Diplomatenstatus an Bord der Wahnwitz und hatten ohne Zweifel die gestrige Party besucht.

„Ich wandte dagegen ein“, sagte Pock, „daß man, wäre induktives Schließen ein Beweisverfahren, zeigen könnte, daß alle ungeraden Zahlen Primzahlen sind. Denn 3, 5, 7 und 11 sind Primzahlen, und 9 kann man als irrelevanten Meßfehler vernachlässigen. Sie behaupteten, es seien tatsächlich alle ungeraden Zahlen Primzahlen. Daraufhin schlossen wir unsere Wette ab: Ich gebe Ihnen eine Flasche Rote-Beete-Saft, wenn Intuition und so weiter das Denken der Mathematiker bestimmen. Wenn die Mathematiker aber nichts als logisch denken, räumen Sie Ihre Stellung und übertragen mir das Kommando über die Wahnwitz.“

„Waaas?“

„Captain, ich hatte die einzige noch übriggebliebene Flasche Rote-Beete-Saft im ganzen Raumschiff.“

„Das erklärt alles. Und Sie behaupten, Sie hätten die Wette gewonnen?“

„In der Tat, Captain. Und ich kann es beweisen. Ich habe im Speicher des Bordcomputers ein antikes Manuskript gefunden und ausgedruckt.“

Es trug den Titel „Turings Fahrrad“. „Mr. Pock, was ist ein Fahrrad?“

Pock zeigte ihm eine Skizze. „Ein primitives Fortbewegungsmittel.“ Kink nickte und las:



Alan Turing pflegte mit seinem Fahrrad zur Arbeit zu fahren. Gelegentlich sprang die Kette ab. Als methodisch vorgehender Mensch hielt er in seinem Büro eine Flasche mit Terpentin und einen Lappen bereit, um bei der Ankunft seine Hände zu reinigen. Nach einiger Zeit bemerkte er, daß die Kette immer in sehr regelmäßigen Abständen absprang, begann, die Umdrehungen des Vorderrades zu zählen und entdeckte, daß die Kette stets nach genau n Umdrehungen absprang.

„Wie groß war n?“ fragte Kink.

„Diese Information ist nicht im Bordcomputer gespeichert, Captain.“

„Oh.“ Kink las weiter:



Turing zählte nun dauernd die Umdrehungen, damit er im richtigen Augenblick mit Treten aussetzen konnte, so daß die Kette oben blieb. Das wurde mühsam, und daher brachte er einen Umdrehungszähler an. Später analysierte er den mathematischen Zusammenhang zwischen der Anzahl g der Kettenglieder und der Anzahl z der Zähne auf dem Ritzel. Er entdeckte, daß n gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von g und z war, und schloß daraus, daß das unglückliche Ereignis stets bei einer eindeutig bestimmten Konfiguration von Hinterrad und Kette auftrat. Bei näherer Untersuchung stellte sich dann heraus, daß die Kette immer dann absprang, wenn ein gewisses, leicht beschädigtes Kettenglied eine leicht verbogene Speiche berührte (Bild 1). Die Speiche wurde strammgezogen, und das Terpentin und der Lappen konnten aus dem Büro verschwinden.



Kink kratzte sich fragend am Kopf. „Na schön. Und was beweist das, Pock?“

„Die Macht der Logik!“

Ein harter schottischer Akzent erschallte auf der Brücke. „Dummes Zeug! Jeder fähige Mechaniker hätte den Defekt in ein paar Sekunden gefunden!“ Das war Dott, der Chefingenieur.

„Danke. Nun, Mr. Pock, was hat diese kleine Anekdote mit der Wette zu tun?“

„Alan Turing war ein Mathematiker, Captain. Dieses Dokument beweist, daß er ausschließlich logisch gedacht hat.“

Kink hämmerte ein wenig auf die Tastatur des Bordcomputers und starrte einige Sekunden auf den Bildschirm. „Turing war ein Logiker, Mr. Pock. Logisch gesprochen, ist es doch nur logisch, daß ein Logiker logisch denkt.“

„Er war ein mathematischer Logiker, Captain, und...“

„Mr. Pock, nach Ihren eigenen Argumenten über die Unzuverlässigkeit der Induktion kann Ihre Behauptung ja wohl unmöglich durch ein einziges Beispiel bewiesen werden. Oder?“

Pock erblaute, das vulgarische Äqui-valent des Errötens. „Ich bitte um Entschuldigung. Es tut mir leid, daß der irdische Teil meines Erbguts meine Urteilskraft für einen Moment getrübt hat.“

„Hmmm“, murmelte Kink und dachte fieberhaft nach. „Wenn man herausfinden könnte, wie mehrere irdische Mathematiker wirklich dachten, dann wäre ich bereit, mich auf Ihren Standpunkt einzulassen. Das wäre dann zwar immer noch kein logischer Beweis, aber“ – Kink genoß es, Pock leiden zu sehen – „ich würde das Ergebnis eines kontrollierten Experiments akzeptieren.“

Denken Mathematiker logisch?

Pock sah sehr frustriert drein. „Ja, Captain. Aber solch ein Experiment können wir nicht ausführen.“

„Und zwar aus praktischen Gründen, die wir nicht ändern können. Pock, Sie haben Ihre Wette verloren, weil Sie Ihre Behauptung nicht beweisen können. Geben Sie die Flasche...“

„Captain!“

Kink drehte sich um und setzte seinen Kommandeursblick auf. „Ja, Mr. Bubu?“

„Wir sind soeben überraschend auf ein unbekanntes Objekt gestoßen. Sein Durchmesser beträgt 703 Lichtjahre.“

„Holen Sie es auf den Schirm.“

Die Brückenmannschaft starrte auf die wirbelnde, buntgescheckte Masse. Kink blickte ratlos umher und wartete auf eine Eingebung, aber sein erster Offizier kam ihm zuvor.

„Scheint ein kosmisches Dingsda zu sein, eine Singularität in der Raum-Zeit-Struktur“, erklang die aufreizend ruhige, Gewißheit ausstrahlende Stimme Pocks.

„Woher wissen Sie das?“

„Durch logische Herleitung, Captain. Sehen Sie sich genau die linke obere Ecke an.“ Kink korrigierte die Scharfeinstellung. Verschwommene Wörter erschienen: „Starwaste – die Lösung des Recycling-Problems. Dieses kosmische Dingsda schafft Ihren Müll in ferne Räume und Zeiten – rückholbar!“ Pock erläuterte: „Das ist eine antike Konstruktion. Solch schreiende Aufschriften waren früher üblich.“

„Aha. Nun, wir können uns nicht mit dem Zeug aufhalten, das die Leute hier im Universum hinterlassen haben. Wir haben einen Auftrag. Stellen Sie den Kurs...“

„Captain“, fiel ihm Mr. Pock ins Wort. „Jetzt wird Ihr Experiment doch machbar.“

Kink erbleichte. „Was?“

„Wir können das kosmische Dingsda als Raum-Zeit-Maschine verwenden, um die alte Erde zu besuchen und die Mathematiker bei ihrer Arbeit zu beobachten.“

Kink seufzte und nickte. Das war mal wieder einer jener Tage... Sie stellten eine Liste auf und einigten sich auf die drei wirklich größten terranischen Mathematiker: Archimedes, Carl Friedrich Gauß und Isaac Newton. Pock machte eine Landefähre startklar und programmierte sie auf einen komplizierten Kurs durch das kosmische Dingsda, der sie in die Nähe aller drei führen würde. Kink bestand darauf, diese Operation Dingsbums zu nennen.

Archimedes

Vor langer, langer Zeit saß Archimedes von Syrakus auf Terra vor seinen in den Sand gezeichneten Diagrammen. Er hatte den halben Vormittag damit verbracht, ein regelmäßiges Vierundsechzigeck zu konstruieren, das ihm für seine aufwendigen Untersuchungen zur Quadratur des Kreises dienen sollte. Eine kaum wahrnehmbare Stimme „Beam uns runter, Dotty“ riß ihn aus seinen Gedanken. Auf einmal erschienen zwei schimmernde Körper genau in der Mitte seines wundervollen Vielecks und verwischten seinen Mittelpunkt. Nachdem Kink und Pock eine Weile mit dem Übersetzungsgerät herumgefummelt hatten, konnten sie Archimedes versichern, daß sie weder seine Kreise noch seine Polygone zu stören beabsichtigten. Pock half ihm bei der Wiederherstellung seiner Zeichnung. Als sie schließlich Archimedes baten, ihnen seine berühmte Formel für das Volumen V einer Kugel vom Radius r zu erklären, war er sichtlich hocherfreut. Er erzählte ihnen, daß er zum Beweis der Formel die Exhaustionsmethode verwendet habe, eine teuflisch komplizierte Technik, bei der man die beiden Möglichkeiten und widerlegt, indem man die Kugel durch Polyeder mit einer riesigen Anzahl von Seitenflächen approximiert. Dann bleibt also nur die Gleichheit übrig. „Ich habe das alles in meinem Buch ,Über Kugel und Zylinder‘ aufgeschrieben“, sagte er stolz. Pocks Gesicht zeigte das vulgarische Äquivalent eines Lächelns. „Sehen Sie, Captain? Völlig logisch.“ „Nicht so schnell, Mr. Pock. Ich bin nicht Sternflottenkommandeur geworden, indem ich voreilige Schlüsse zog. Mir fällt auf, daß an dem Beweis durch Exhaustion irgend etwas nicht geheuer ist. Zunächst setzt Archimedes stillschweigend voraus, daß eine gekrümmte Fläche überhaupt ein wohldefiniertes Volumen begrenzt.“ Archimedes lief rot an. „Es wundert mich, Mr. Pock, daß Ihnen das nicht aufgefallen ist.“ Pock erblaute. „Offenbar Ihr irdisches Erbgut“, fuhr Kink fort. „Aber selbst wenn wir die Existenz eines wohldefinierten Volumens voraussetzen, gibt es noch ein Problem. Die Exhaustionsmethode funktioniert nur, wenn Sie die Antwort schon vorher kennen. Sie können nicht wissen, welche Ungleichungen Sie ausschließen sollen, wenn Sie die Gleichung, die Sie beweisen wollen, noch nicht kennen.“ Er wandte sich an Archimedes. „Wie sind Sie ursprünglich auf den Wert gekommen? Geraten?“ „Selbstverständlich nicht!“ entgegnete der Weise indigniert, und Pock trug die Nase gleich wieder etwas höher. „Ich habe die Herleitung meiner Formel in meinen ,Methoden‘ erklärt.“ (Der dänische Gelehrte J. L. Heiberg hat 1906 in Konstantinopel diese verschollene Abhandlung des Archimedes wiederaufgefunden.) „Ich schrieb dort“, fuhr Archimedes fort, „daß mir gewisse Sätze erst mit Hilfe einer mechanischen Vorrichtung klar wurden. Dann allerdings mußte ich sie more geometrico beweisen, denn das mechanische Experiment war kein echter Beweis. Man findet einen Beweis natürlich schneller, wenn man sich mit der Frage schon ausgiebig beschäftigt hat.“ Dann zeigte ihnen Archimedes seine Methode (siehe Kasten Seite 14), bei der Körper in unendlich kleine Scheibchen geschnitten und die Teile mit einer Balkenwaage ausgewogen werden. „Hmm“, brummte Kink. „Sieht nicht gerade logisch aus...“ „Mit Sicherheit irreführend“, mußte Pock zugeben. „Aber es funktioniert“, sagte Archi-medes. „Merkwürdig, nicht wahr?“

Carl Friedrich Gauß

Der Dingsbumseffekt nahm sie auf und trug sie in das Göttingen des 19. Jahrhunderts, während Kink enthusiastisch grinste und Pock verdrießlich dreinblickte. Sie überredeten den großen Carl Friedrich Gauß dazu, ihnen einen Satz vorzuführen, auf den er besonders stolz war, den wesentlichen Inhalt seiner Dissertation: Jede polynomiale Gleichung der Form hat im Bereich der komplexen Zahlen eine Lösung. „Zeigen Sie uns den Beweis“, bat Pock. „Mit dem größten Vergnügen“, erwiderte Gauß. „Sei z eine komplexe Zahl mit der Darstellung , wobei die imaginäre Einheit ist, und sei p(z)=t+iu der Wert des Polynoms im Punkt z. Nun, wenn dieser Wert niemals gleich null wäre, dann wäre die Funktion überall stetig und differenzierbar, vorausgesetzt, das trifft auch auf die Funktion g zu, die ansonsten beliebig wählbar ist. Also existiert das Integral über eine Kreisscheibe K; wenn man es auf zwei verschiedene Weisen ausrechnet, muß das gleiche herauskommen. Ich kann aber eine Funktion g konstruieren, für die ich beide Werte explizit ausrechnen kann, und zwar mit unterschiedlichem Ergebnis...“ Gauß schrieb mehrere Seiten mit Rechnungen voll und schloß dann triumphierend: „Also war die Annahme, daß das Polynom nirgends verschwinde, falsch, und der Satz ist durch reductio ad absurdum bewiesen.“ „Was gibt es Logischeres als einen Widerspruchsbeweis!“ rief Pock begeistert. „Erklären Sie mir das mit den zweiten Ableitungen noch einmal...“ Kink, der schon beim ersten Integralzeichen nichts mehr verstanden hatte, sagte zunächst gar nichts, faßte sich aber schnell wieder. „Carl Friedrich“, sagte er und legte einen Arm freundschaftlich um die Schulter des Fürsten der Mathematiker, „ich darf dich doch so nennen? Gut. Sage mir, wie bist du nur auf einen so komplizierten Beweis gekommen?“ „Na ja“, erwiderte Gauß, „ich dachte über die Windungszahl einer Kurve nach; das ist die Anzahl der Male, die sie den Ursprung umrundet (Bild 2 links). Es kam mir in den Sinn, daß p(z) sich kaum ändert, wenn z einen kleinen Kreis in der komplexen Ebene durchläuft. Insbesondere kann p(z) dann den Ursprung nicht umrunden – und treffen erst recht nicht, denn dann hätte p dort ja eine Nullstelle. Die Windungszahl ist in diesem Fall also 0. Wenn andererseits z einen sehr großen Kreis durchläuft, dann kommt es nur auf den dominierenden Term in p(z) an, und die Windungszahl ist m, also verschieden von 0 (Bild 2 rechts). Wenn jetzt der kleine Kreis zu einem großen anwächst, dann muß irgendwann zwischendurch die Windungszahl der durch p(z) definierten Kurve sich ändern – von null auf eins zum Beispiel, also sprunghaft. Die Kurve selbst dagegen ändert sich stetig. Nun ist aber anschaulich klar, daß sich die Windungszahl einer sich stetig deformierenden Kurve nur dann sprunghaft ändern kann, wenn die Kurve durch den Ursprung verläuft (Bild 3). Das bedeutet aber, daß für einen bestimmten Punkt auf diesem besonderen Kreis p(z)=0 gilt. Quod erat demonstrandum.“ „Ich verstehe“, sagte Kink. „Da ich den Satz so nicht beweisen konnte, mühte ich mich ab, bis ich die Idee mit der Windungszahl in das Doppelintegral fassen konnte, das ich euch gezeigt habe.“ „Die Idee hast du also zunächst auf unlogische Weise, durch Intuition gefunden, und dann hast du daraus einen logischen Beweis gemacht?“ „Wenn das Gebäude fertig ist“, erwiderte Gauß stolz, „dann sollte das Gerüst nicht mehr zu sehen sein.“ Kink tippte auf seiner Kommunikator-Tastatur... „Carl Friedrich, weißt du, was Nils Hendrik Abel, einer deiner Nachfolger, über dich sagen wird? Er ist wie ein Fuchs, der seine Spuren im Sand mit dem Schwanz verwischt.“ „Wie schmeichelhaft!“ Pock blickte trister drein als je zuvor.

Isaac Newton

„Auf nach England!“ rief Kink, als das Dingsbums sie erneut in das Meer aus Raum und Zeit katapultierte.

Sie trafen den Schöpfer der Differential- und Integralrechnung kniend, mit einer Stichsäge in der Hand, in seinem Studierzimmer an. Am unteren Türrand war ein etwa fußbreites Loch zu sehen, dessen Kanten vom langen Gebrauch blankgescheuert waren, daneben zwei kleinere, offensichtlich frisch gesägte Löcher. Newton arbeitete gerade an einem dritten kleinen Loch. Pock, dem das menschliche Verhalten stets ein Rätsel war, fragte ihn, was er da tue.

„Ach, verehrte Herren vom himmlischen Firmament, das ist für meine Katze. Sie liebt es, mein Studierzimmer nach Belieben zu betreten oder zu verlassen, und mir ist es beschwerlich, jedesmal die Tür zu öffnen und zu schließen. Wenn ich sie nicht hereinlasse, fängt sie erbärmlich an zu miauen. Außerdem zerkratzt sie das Türholz mit ihren Krallen. Deshalb habe ich vor einigen Jahren einen eigenen Ein- und Ausgang für sie erfunden.“

„Ich bin von Ihrer Erfindungsgabe sehr beeindruckt“, erwiderte Kink. „Ich muß allerdings gestehen, daß ich die von Ihnen erfundene Kunst des Differenzierens noch höher schätze. Darf ich Sie fragen, wie Sie darauf gekommen sind?“

„Ach“, erwiderte Newton, „diese Rechenkünste sind nichts weiter als eine nette, belanglose Spielerei. Aber ein Loch in diese Tür zu sägen, ohne daß das Holz splittert, das ist echte Arbeit. Mieze wird dankbar sein, oder wenigstens still. Sie müssen mich nun entschuldigen...“ Er wandte sich wieder seiner Säge zu.

„Ich möchte Sie durchaus nicht stören, Sir Isaac“, sagte Pock, „aber eines fasziniert mich.“ Newton seufzte und legte die Säge weg. „Warum machen Sie die kleinen Löcher?“

„Wieso“, fragte Newton, „ist das nicht offensichtlich? Meine Mieze hat Junge.“

Pock blickte Kink an. Kink blickte grimmig zurück und nickte. „Sie haben gewonnen, Pock...“


Aus: Spektrum der Wissenschaft 2 / 1993, Seite 12
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
2 / 1993

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 2 / 1993

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