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Der Ungewissheit ein Schnippchen schlagen

Wenn Sie sich zwischen zwei Alternativen entscheiden müssen, ohne zu wissen, welche günstiger ist - dann können Sie auch gleich eine Münze werfen, oder? Nein: Es geht besser.


Sie wollen Ihr Haus verkaufen. Seit Wochen läuft Ihr Inserat in der Zeitung "Verkaufe für das beste Angebot über DM 800000". Stichtag ist der nächste Sonntag.

Zwei Käufer haben nun definitiv Interesse angemeldet. Herr X aus Paris versichert, dass er auf jeden Fall über DM 800000 bietet, aber am kommenden Samstag das Haus noch einmal sehen möchte, um sein endgültiges Angebot zu machen. Frau Y aus London sagt sinngemäß dasselbe, jedoch dass sie nur am kommenden Sonntag kommen könne. Beide machen klar, dass sie am Tag der letzten Besichtigung ein endgültiges Ja oder Nein von Ihnen benötigen.

Gern hätten Sie mehr herausgefunden. Wenn Sie doch nur eine Andeutung hätten heraushören können, was Herr X und Frau Y zu zahlen bereit sind! Am Telefon blieb es jedoch jeweils bei einem kurzen Lachen und der Bemerkung "Lassen Sie mich das Haus noch einmal sehen". Wahre Geschäftsleute, dieser X und diese Y. Auch haben Sie sich bereits erkundigt: Beide Interessenten sind seriös und zahlungsfähig. Aber wer von beiden nun letzten Endes interessierter sein könnte, ist nicht herauszufinden.

Sie überdenken die Situation in allen Details. Natürlich werden Sie Ihr Haus wieder anpreisen, aber das ändert nichts an dem Dilemma: Wenn Sie Herrn X zusagen, geht Ihnen das Angebot von Frau Y verloren und umgekehrt. Dies scheint ein Glücksspiel zu sein! Sie verpassen mit Wahrscheinlichkeit 1/2 das bessere der beiden Angebote. Oder?

Eine andere Idee geht Ihnen durch den Kopf. Noch wissen ja Herr X und Frau Y nichts voneinander. Sollten Sie vielleicht den Preis hochtreiben, indem Sie jedem das Blaue vom Himmel über das Interesse des jeweils anderen erzählen? Herrn X vielleicht bei seinem Besuch? – Nein, wie Sie Herrn X einschätzen, wäre er kaum damit zu beeindrucken, eher im Gegenteil. Frau Y vielleicht? Aber wenn sie kommt, ist Herr X bereits aus dem Rennen und taugt nicht mehr als Drohmittel.

Und wieder sind Sie bei der gleichen Schlussfolgerung angelangt. Sie können genauso gut eine Münze werfen. Vielleicht sollten Sie einfach das Geschäft mit Herrn X abschließen, dann hätten Sie wenigstens den Sonntag frei.

Das Zettelspiel


Die Situation kommt in vielen Formen vor. Ein Sonderangebot im Supermarkt, eine günstige Wohnung oder Arbeitsstelle, die Frau oder der Mann fürs Leben: Häufig ist man in der Verlegenheit, zuzugreifen, ohne zu wissen, ob das, was nachkommt, nicht doch besser ist. Fassen wir das Szenario in ein abstraktes Spiel, damit es übersichtlicher ist.

Sie bitten Ihren Sohn und Ihre Tochter, jeweils im Verborgenen eine beliebige Zahl (wirklich ganz beliebig, groß oder klein, negativ, Dezimalkomma, alles ist erlaubt) auf einen Zettel zu schreiben und ihn verdeckt auf den Tisch zu legen. Sohn und Tochter sprechen sich nicht ab. Sie drehen den Zettel Ihres Sohns um und haben die Auswahl, die Zahl auf diesem Zettel zu wählen oder abzulehnen. Wenn Sie ablehnen, haben Sie damit automatisch die Zahl Ihrer Tochter gewählt. Dann werden beide Zahlen verglichen. Wenn Sie die größere von beiden gewählt haben, gewinnen Sie, sonst verlieren Sie. Der Unterschied der Zahlen ist nun belanglos, es geht nur ums Gewinnen. Bei Zahlengleichheit wird das Spiel wiederholt, aber dieser Fall ist sehr unwahrscheinlich. Um auszuschließen, dass Sie auf die Zahlen schließen können, weil Sie Ihre Kinder kennen: Ersetzen Sie sie in Gedanken durch Fremde. Es darf auch eine Person beide Zettel ausfüllen.

Dies scheint nun wirklich ein reines Glücksspiel mit einer Gewinnchance von 1/2 zu sein. Doch nun kommt die Überraschung: Hier ist eine Strategie, mit der Sie Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit erhöhen. Sie geht im Ansatz auf Thomas Cover von der Universität Stanford (Kalifornien) zurück.

Seien X und Y die Zahlen auf den beiden Zetteln. Denken Sie sich eine (ganz beliebige) Zahl Z und wählen Sie die (zuerst aufgedeckte) Zahl X, wenn sie größer als Z ist, ansonsten Y.

Warum sollte dieses seltsame Verfahren besser sein, als auf gut Glück zu wählen? Hier ist der Beweis. Es gibt genau drei mögliche Ereignisse:

- (A) X und Y sind beide kleiner als oder höchstens gleich Z,

- (B) Z liegt zwischen X und Y (einschließlich),

- (C) X und Y sind beide größer als Z.

Im Fall (A) wählen Sie Y, im Fall (C) wählen Sie entsprechend X. In diesen beiden Fällen gewinnen Sie mit Wahrscheinlichkeit 1/2, denn Ihre Entscheidung läuft im Endeffekt auf eine Zufallswahl hinaus. Aber im Fall (B) gewinnen Sie mit Sicherheit! Sie wählen nämlich automatisch die größere der beiden Zahlen, einerlei ob es X oder Y ist. Damit beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit insgesamt w=(a+c)/2+b, wobei a, b und c die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse (A), (B) und (C) sind. Da aber eins von ihnen mit Sicherheit eintritt, gilt a+b+c=1 und damit w=(a+b+c)/2 +b/2=1/2+b/2. Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit ist um b/2 höher als bei der schlichten Zufallswahl, und b ist größer als null: Es kann ja vorkommen, dass Ihr Z zwischen X und Y fällt.

Wie spielt man diese Strategie am geschicktesten? Offensichtlich so, dass Fall (B) eine möglichst hohe Wahrscheinlichkeit b für sich hat. Also sollte man Z so wählen, dass es mit höchster Wahrscheinlichkeit zwischen X und Y liegt. Diese beiden Zahlen kennt man aber gerade nicht. Im Allgemeinen gibt es also keine eindeutige Empfehlung für die Wahl von Z. Aber in konkreten Fällen findet man oft gute Anhaltspunkte.

Optimale Wahl der Schmerzgrenze


Ein konkreter Fall ist der Hausverkauf. Auf dem ersten Zettel steht das Angebot von Herrn X, und den zweiten Zettel (das Angebot von Frau Y) kennen Sie nicht, wenn Sie Herrn X Ja oder Nein sagen müssen. Der einzige Unterschied zum Zettelspiel mit beliebigen Zahlen ist die Vorinformation, dass X und Y beide über 800000 liegen. Ein Angebot von 900000 und mehr ist wohl unwahrscheinlich. Umgekehrt: Wenn Sie Herrn X bei 801000 zusagen und hinterher erfahren, dass Frau Y 802000 geboten hätte, wird sich Ihr Ärger in Grenzen halten. Gegen eine verpasste Chance dieser Größe sich abzusichern bringt nicht viel. Damit sollten Sie Ihre "Schmerzgrenze" Z deutlich über 800000, aber doch nicht zu groß wählen.

Ich persönlich würde würfeln und pro Punkt 5000 DM auf 800500 DM aufschlagen. Wenn der Würfel die Drei zeigt, würde ich also Z=815500 wählen. Aber dieser Vorschlag ist nicht unbedingt besser als der, an den Sie denken.

Warum würfele ich überhaupt? Ich könnte mich ja auch gleich auf Z=820000 festlegen, wenn das mein Erwartungswert für die Gebote ist. Aber in spieltheoretischen Situationen ist es häufig ungünstig, berechenbar zu sein. Meine Strategie könnte sich herumsprechen und meine Gegner sich darauf einstellen. Deswegen die Einführung der Zufallskomponente. Was ist die kleine Strategie wert? Jedenfalls mehr als eine Zufallswahl. Quantifizieren kann man es nicht, aber 10000 DM mehr dürften für Sie im Erwartungswert durchaus drin sein.

Vertauschen wir nun die Rollen. Nehmen wir an, Sie sind derjenige, der (allein) verschiedene Zahlen auf zwei Zettel schreibt, und ich darf wie vorher eine der beiden Zahlen wählen. Nun ist es natürlich Ihr Interesse, meine Gewinnwahrscheinlichkeit möglichst klein zu halten. Was sollten Sie tun?

Die Antwort ist einfach. Sie wählen zwei Zahlen sehr nahe beieinander, zum Beispiel 6,123455 und 6,123456. Nun ist mein Vorteil nicht der Rede wert. Meine gewählte Zahl Z wird wohl kaum zwischen diese beiden Zahlen fallen.

Im täglichen Leben liegen die Dinge jedoch meist anders. Strategien werden auf einer Seite entwickelt und im Allgemeinen der Gegenseite nicht mitgeteilt. Welchen Unterschied macht dies? Um dies herauszufinden, habe ich vor einigen Jahren in einer Vorlesung für Business-Studenten einen Test gemacht. Jeder Zuhörer durfte zwei Zettel mit beliebigen verschiedenen Zahlen ausfüllen, und so weiter. Von Z-Strategien wussten die Studenten nichts.

Bei 41 oder 42 Teilnehmern konnte ich 32 Erfolge verbuchen! Bei einer Zufallsstrategie wären 20 oder 21 zu erwarten, mit etwas Glück auch 3 oder 4 mehr. Aber 32 kann man nicht mehr mit der Begründung Glück abtun.

Selbst die besten Studenten standen vor einem Rätsel. Es ist schwer, etwas zu sehen, wo man nichts erwartet. Aber Sie, liebe Leser, können es erraten. Ich wandte eine Z-Strategie an, sogar eine besonders naive. Ich wählte Z=0.

Warum war ich damit so erfolgreich? Weil ich das Aktionsfeld der Strategie anpassen konnte. Es war mir anscheinend gelungen, die Bemerkung "die Zahlen können auch negativ sein" locker genug einfließen zu lassen. Jedenfalls machten zahlreiche Studenten von negativen Zahlen Gebrauch. Alle diejenigen aber, die eine negative und eine positive Zahl aufgeschrieben hatten, machten mir damit den Erfolg zum Geschenk.

Dieses Beispiel widerlegt ein "Gesetz" des strategischen Denkens. Angeblich kommt es im Wettbewerb stets darauf an, den Gegner einzuengen. Dies ist in unserem Falle genau falsch. Wenn ich davon ausgehen kann, dass der Gegner meine Strategie nicht erwartet, kann es ungeschickt sein, ihn in seinen Möglichkeiten einzuschränken. Wer weniger tun kann, wird sich jeden Schritt genauer überlegen. Mit der Erlaubnis negativer Zahlen habe ich den Freiraum der Studenten nicht eingeengt, sondern erweitert. Dass sie damit auch besonders aufpassen mussten, hatten sie eben nicht erwartet.

Ein Baby der Mathematik


Sie haben soeben eine mathematische Forschungsrichtung kennen gelernt, die im Vergleich zu vielen anderen hoch entwickelten noch in den Kinderschuhen steckt: strategisches Denken, ein Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zahlreiche nahe liegende Fragen sind noch unbeantwortet. Gibt es eine Strategie für das Zwei-Zettel-Spiel, die generell besser ist als die beschriebene Z-Strategie? Schon der Beweis der Existenz oder Nichtexistenz einer solchen Strategie wäre ein wahrer Fortschritt. Doch sehe ich nach heutigem Kenntnisstand keinen Ansatz für einen solchen Beweis, ja nicht einmal, wie man die Frage mathematisch hinreichend präzisieren könnte.

Ist es nicht erstaunlich, dass heute noch niemand Ihren Hausverkauf mit zwei Interessenten (beweisbar) optimieren kann? Eigentlich schon, wenn wir bedenken, was die Mathematik ansonsten leistet. Verglichen mit Optimierungsproblemen, etwa im modernen Flugzeugbau, sieht unser kleines Problem lächerlich einfach aus. Das kann schon sein. Aber die Flugzeugoptimierer haben einen riesigen zeitlichen Vorsprung: Sie arbeiten routinemäßig mit Verfahren, deren mathematische Grundlagen schon seit zwei- bis dreihundert Jahren bekannt sind.

Kontraste dieser Art gibt es in den meisten Fachrichtungen der Mathematik. Ist dies ein Indiz für die ewige Jugend einer Disziplin? Ich glaube ja.


Aus: Spektrum der Wissenschaft 6 / 2000, Seite 106
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
6 / 2000

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 6 / 2000

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