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Geometrie: Die Geschichte von den drei kleinen Achtecken

Die biedere Geometrie der Ebene bietet überraschenderweise Probleme, die ein Dreivierteljahrhundert einer Lösung widerstanden haben. Erst die modernsten Verfahren der numerischen Optimierung brachten den Durchbruch.
kleines AchteckLaden...
Der Satz "Je symmetrischer, desto optimaler" gehört gewissermaßen zur mathematischen Folklore. Er stimmt ja auch, ebenso wie seine Umkehrung – meistens. Die Figur in der Ebene, die bei gegebenem Flächeninhalt den kleinsten Umfang hat, ist die symmetrischste aller Figuren: der Kreis. Umgekehrt ist auch der Kreis unter allen Figuren gegebenen Umfangs die mit der größten Fläche.

Ähnliches gilt, wenn man sich auf Figuren beschränkt, die von geraden Linien begrenzt werden. Man verbinde n gleich lange Stangen durch Gelenke in den Endpunkten zu einem gleichseitigen, beweglichen Polygon (Vieleck). Dieses Gebilde schließt genau dann die maximale Fläche ein, wenn es ein regelmäßiges Vieleck ist, wenn also nicht nur alle Seiten, sondern auch alle Winkel gleich sind. Umso überraschender ist es, dass diese Regel Ausnahmen hat. Unter allen Achtecken gegebener Größe ist das regelmäßige nicht dasjenige mit der größten Fläche!

Aber was genau heißt "Größe"? Der Umfang einer Figur ist dafür ja nicht unbedingt ein geeigneter Maßstab – eher schon die Bildschirmdiagonale oder, wissenschaftlicher ausgedrückt, der Durchmesser, das heißt der größte Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten des Gebildes...
August 2010

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft August 2010

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