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Serie Mathematik (Teil VIII): Die mathematische Zähmung des Standardmodells

Die moderne Theorie der Elementarteilchen, die Quanten-Yang-Mills-Theorie, vermag die experimentellen Befunde mit unerhörter Genauigkeit wiederzugeben, es fehlt ihr jedoch bisher ein solides mathematisches Fundament. Über dessen Gestalt gibt es nur sehr nebelhafte Vorstellungen.
© CERN
Bevor ein mathematisches Problem zu Weltruhm gelangt, hat es in aller Regel schon eine lange Vorgeschichte hinter sich. Große Geister haben sich, zum Teil jahrhundertelang, vergeblich daran versucht, dabei das Problem von allem Nebensächlichen entkleidet und es in die kürzeste und eleganteste denkbare Form gebracht, so dass es – wie im Fall der fermatschen Vermutung – auf den Rand einer Buchseite passt. Oft ist es schon in Form einer Vermutung formuliert: "Alle nichttrivialen Nullstellen der riemannschen Zetafunktion haben den Realteil 1/2" (Spektrum der Wissenschaft 9/2008, S. 86), oder noch kürzer: "P ≠ NP" (Spektrum der Wissenschaft 10/2008, S. 74), und das Einzige, was fehlt, ist ein Beweis.

Von den sieben Millenniumsproblemen, auf deren Lösung das Clay Mathematics Institute einen Preis von jeweils einer Million Dollar ausgesetzt hat, liegen fünf in dieser Reinform vor. Nur die beiden Probleme, die ihren Ursprung in der Physik haben, sind noch nicht so ausgereift. Bei der Theorie der Navier-Stokes-Gleichungen (Spektrum der Wissenschaft 4/2009, S 78) werden bereits "wesentliche Fortschritte" prämiert, weil die Mathematiker keine hinreichend konkrete Vorstellung davon haben, wie diese Fortschritte aussehen könnten. Und beim Yang-Mills-Problem ist es noch schlimmer.

Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Im ersten Schritt ist ein mathematischer Unterbau für eine Klasse von Theorien zu finden, die in der Elementarteilchenphysik viel und erfolgreich angewendet werden. Leider beruhen diese Quantenfeldtheorien in wesentlichen Teilen auf Konzepten, die mathematisch nicht definiert sind, wie zum Beispiel viele der so genannten Pfadintegrale, und liegen obendrein nur als Störungstheorien vor, das heißt nur als eine Annäherung an die "echte", noch unbekannte Theorie. Diese Theorie muss nicht nur mathematisch fundiert sein, sondern auch die experimentellen Befunde richtig wiedergeben und darüber hinaus gewisse Eigenschaften haben, welche die Physiker als unerlässlich empfinden...

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