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Die unscheinbare Schwester der goldenen Zahl


In den mathematischen Skulpturen, die ich im letzten Monat beschrieben habe, verwendet der Architekt Alan St. George mehrfach die Maßzahl des Goldenen Schnitts. Sie gilt von alters her als besonders edel, denn sie ist das Verhältnis zweier Streckenlängen, deren Summe sich zur größeren verhält wie die größere zur kleineren. Neuerdings bedeutet "edel" im mathematischen Sprachgebrauch nicht nur "von besonders einfacher Proportion", sondern auch "besonders irrational". Ausgerechnet die goldene Zahl läßt sich so schlecht durch rationale Zahlen approximieren, daß sie dem Angriff des Chaos am längsten standhält (Spektrum der Wissenschaft, Dezember 1994, Seite 86).

Der Katalog der Ausstellung, die St. George 1995 in Lissabon zeigte, erwähnt auch eine weniger berühmte Verwandte dieser Zahl und verweist auf eine Artikelfolge, in welcher "der Architekt Richard Padovan die Geheimnisse der ,Plastikzahl' enthüllt" habe. Sie wird in alten mathematischen Texten kaum erwähnt, was in Anbetracht ihrer geometrischen Qualitäten durchaus merkwürdig ist; aber ihre mathematische Abkunft ist fast ebenso edel wie die ihrer goldenen Schwester. In der Natur scheint sie nicht so häufig vorzukommen, aber bisher hat wohl auch kaum jemand nach ihr Ausschau gehalten.

Zum Vergleich will ich mit der goldenen Zahl beginnen. Ihr Wert beträgt j=1+1/j=1,618034.... Sie hängt eng mit der vielzitierten Fibonacci-Folge (Spektrum der Wissenschaft, November 1995, Seite 10) zusammen, die sich unter anderem durch ein spiralförmiges System von Quadraten veranschaulichen läßt (Bild 1 links). Das blaue Ausgangsquadrat hat die Seitenlänge 1, ebenso das links anschließende Nachbarquadrat. An das so entstehende Rechteck mit den Seitenlängen 1 und 2 legt man reihum im Uhrzeigersinn weitere Quadrate an, so daß sich immer wieder ein Rechteck ergibt: zunächst oben ein Quadrat der Seitenlänge 2, dann rechts eines mit der Seitenlänge 3; es folgen die Seitenlängen 5, 8, 13, 21 und so weiter. Diese Zahlen bilden die Fibonacci-Folge. Jedes Glied ist die Summe seiner beiden Vorgänger.

Das Verhältnis aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen nähert sich der goldenen Zahl immer mehr an. Beispielsweise ist schon 21/13=1,615384.... Das folgt aus dem Bildungsgesetz der Folge. Für das genannte Verhältnis ergibt sich im Grenzfall die Gleichung j=1+1/j.

Wenn man in jedes Quadrat einen Viertelkreisbogen einfügt, schließen sich diese Bögen zu einer eleganten Spirale aneinander – eine gute Näherung an die sogenannte logarithmische Spirale, die man auch in der Natur wiederfindet, etwa in der Schale des Perlbootes Nautilus, eines lebenden Fossils aus der Klasse der Kopffüßer. Aufeinanderfolgende Windungen haben ungefähr das Größenverhältnis des Goldenen Schnitts.

Nun zur Plastikzahl. Wir beginnen mit einem ähnlichen Diagramm, nur werden diesmal gleichseitige Dreiecke aneinandergefügt (Bild 1 rechts). An das Anfangsdreieck (blau) schließen sich im Uhrzeigersinn weitere Dreiecke an. Wieder ergibt sich durch Einfügen von Bögen eine annähernd logarithmische Spirale. Damit die Dreiecke zusammenpassen, haben die ersten drei sämtlich die Seitenlänge 1. Die nächsten beiden haben die Seitenlänge 2; es folgen 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21 und so weiter.

Auch diese Zahlen sind nach einer einfachen Regel gebildet: Jedes neue Glied der Folge ist die Summe des vorletzten und des vorvorletzten. Nennen wir diese Folge die Padovan-Folge. Eine kleine Kuriosität am Rande: Padovan trägt seinen Namen, weil seine Vorfahren aus Padua (italienisch Padova) stammten; Leonardo Fibonacci (um 1170 bis nach 1240) stammte aus Pisa, was nur etwas mehr als 100 Kilometer von Padua entfernt ist. Padovan selbst nimmt allerdings keinen Entdeckerruhm für sich in Anspruch: Der französische Architekturstudent Gérard Cordonnier hatte die Plastikzahl bereits 1924 beschrieben, desgleichen 1928 der niederländische Benediktinermönch und Architekt Hans van der Laan.

In Formeln lauten die Bildungs-gesetze für die Fibonacci-Zahlen fn und für die Padovan-Zahlen pn folgendermaßen: fn+1=fn+fn-1 mit f0=f1=1 beziehungsweise pn+1=pn-1+pn-2 mit p0=p1=p2=1. Die Familienähnlichkeit ist offensichtlich. Die Plastikzahl, deren Wert ungefähr gleich 1,324718 ist und die ich ab jetzt p nennen will, ist der Grenzwert der Quotienten aufeinanderfolgender Padovan-Zahlen, steht also zu ihnen in derselben Beziehung wie die goldene Zahl zu den Fibonacci-Zahlen. Aus dem Bildungsgesetz folgt die Gleichung p=1/p+1/p2 oder p3-p-1=0. Die Zahl p ist die eindeutig bestimmte reelle Lösung dieser Gleichung.

Die Padovan-Folge wächst allerdings viel langsamer als die Fibonacci-Folge, weil p kleiner als j ist. Es gibt in ihr zahlreiche interessante Strukturen zu entdecken. So zeigt Bild 1 rechts, daß die Seite eines neu anzufügenden Dreiecks so lang ist wie die des letzten Dreiecks und dessen vierten Vorgängers zusammen. Daraus ergibt sich zum Beispiel p10=16+5=21. Allgemein gilt pn+1=pn+pn-4.

Wie für die goldene Zahl gibt es auch für ihre Plastikschwester eine geometrische Interpretation. John H. Bonnett Jr. aus Livingston (New Jersey) gab mir – unter anderem – folgenden Hinweis: Wenn man ein Quadrat wie in der nebenstehenden Figur in drei ähnliche Rechtecke zerlegt, stehen die beiden vertikalen Seiten x und y im Längenverhältnis p.

Manche Zahlen, zum Beispiel 3, 5 und 21, sind zugleich Fibonacci- und Padovan-Zahlen. Gibt es noch weitere? Wenn ja, wie viele? Unendlich viele? Einige Padovan-Zahlen sind auch Quadratzahlen, etwa 9, 16 und 49. Gibt es noch mehr davon? Die Wurzeln der drei genannten sind 3, 4 und 7, also wieder Padovan-Zahlen. Ist das Zufall, oder muß das immer so sein? Diese und vie- le weitere Fragen verdienen genaueres Nachforschen.

Robert T. Wainwright aus New Rochelle (US-Bundesstaat New York) fand Zusammenstellungen gleichseitiger Dreiecke verschiedener Größe, die den Dreiecksspiralen der Padovan-Folge verblüffend ähneln. Allerdings ging er von einer gänzlich anderen Aufgabe aus: Welches ist die größte konvexe Fläche, die man aus einer gegebenen Anzahl gleichseitiger Dreiecke zusammensetzen kann, wenn die Seitenlängen dieser Dreiecke ganzzahlig, aber im übrigen frei wählbar sind? Konvex bedeutet, daß die Gesamtfigur keine einspringenden Ecken haben darf.

Wenn man eine Figur hat, welche die Bedingungen erfüllt, könnte man alle Längen mit 2 (oder einer anderen Zahl) multiplizieren und bekäme eine größere Figur. Um solche uninteressanten Fälle auszuschließen, stellt Wainwright die Zusatzbedingung, daß die Seitenlängen der Dreiecke keinen allen gemeinsamen Teiler haben dürfen. Die besten bekannten Zusammenstellungen sind bis zur Anzahl 7 (bis auf Spiegelungen) identisch mit der Padovan-Pflasterung (Bild 3). Können Sie die Liste verlängern?

Man kann Padovan-Zahlen auch erzeugen, indem man dreidimensional operiert. In diesem Falle beginnt die Spirale (Bild 2) mit einem Würfel der Kantenlänge 1. Legen Sie einen gleich großen Würfel daneben, so daß insgesamt ein 1×1×2-Quader entsteht. Fügen Sie an eine seiner 1×2-Seitenflächen einen weiteren 1×1×2-Quader an; das ergibt einen 1×2×2-Quader. Legen Sie nun unter dessen 2×2-Bodenfläche einen 2×2×2-Würfel, so daß als Gesamtfigur ein 2×2×3-Quader resultiert. Mit einem 2×2×3-Quader, angelegt an einer 2×3-Fläche, ergibt sich insgesamt ein 2×3×4-Quader. Fügen Sie weitere Quader an, und zwar der Reihe nach in den Richtungen Osten, Süden, unten, Westen, Norden und oben. Jeder neu gebildete Quader hat als Kantenlängen drei aufeinanderfolgende Padovan-Zahlen.

Mehr noch: Wenn Sie quadratische Seitenflächen aufeinanderfolgender Quader mit Diagonalen versehen, so daß sich eine durchgehende Linie ergibt, ist diese Linie abermals – nun ja, in einer etwas eckigen Näherung – eine Spirale. Es stellt sich heraus, daß diese Spirale in einer Ebene liegt. Was für ein Gebilde entsteht wohl, wenn man das Quadersystem mit dieser Ebene schneidet? St. George hat auf der Grundlage dieser Konstruktion Skulpturen geschaffen, in denen Stangen mittels angebohrter Kugeln in den Eckpunkten miteinander verbunden sind.

Eine Folge mit demselben Bildungsgesetz, aber anderen Startwerten, hatte schon 1876 der französische Mathematiker Édouard Lucas (1842 bis 1891) studiert. Sein Kollege R. Perrin hat diese Ideen 1899 weiterentwickelt, und die Folge heißt heute Perrin-Folge. Die Perrin-Zahlen unterscheiden sich von den Padovan-Zahlen durch die Anfangswerte: a0=3, a1=0 und a2=2. Der Quotient aufeinanderfolgender Perrin-Zahlen strebt wiederum gegen p (das gilt für beliebige Anfangswerte), aber Lucas beschrieb eine subtilere Eigenschaft: Immer wenn n eine Primzahl ist, dann ist an ohne Rest durch n teilbar. Beispielsweise gilt für die Primzahl 19, daß a19=209 =19×11 ist.

Im Umkehrschluß liefert dieser Satz einen Test dafür, ob eine gegebene Zahl zusammengesetzt ist. Für n=18 etwa ergibt sich a18=158, und bei der Division von 158 durch 18 bleibt der Rest 14, also nicht 0. Also ist 18 zusammengesetzt. Allgemein gilt: Jede Zahl n, die an nicht teilt, ist zusammengesetzt.

Der Test könnte durchaus praktisch bedeutsam werden: William W. Adams und Daniel Shanks von der Universität von Maryland (Hauptsitz Adelphi) haben 1982 ein Verfahren gefunden, den Rest bei der Division von an durch n sehr schnell (Rechenaufwand proportional zum Logarithmus von n) zu berechnen. Wie jeder Primzahltest kann auch dieser zur Lösung des Faktorisierungsproblems beitragen, welches wiederum für Datenverschlüsselungsverfahren von Bedeutung ist (Spektrum der Wissenschaft, September 1996, Seite 80).

Wenn aber an durch n teilbar ist, muß dann n eine Primzahl sein? Keineswegs! Der Satz von Lucas hat in diesem Punkt dieselbe Eigenschaft wie der kleine Fermatsche Satz (Spektrum der Wissenschaft, Februar 1983, Seite 80): Man kann mit ihm die Primzahleigenschaft einer Zahl nur widerlegen, aber nicht beweisen. Aus "Wenn es regnet, dann werde ich naß" folgt nicht "Wenn ich naß werde, dann regnet es". (Ich könnte ja an einem trockenen Tag in einen Teich fallen.) Tatsächlich gibt es Perrin-Pseudoprimzahlen, also solche, die den Test bestehen und gleichwohl zusammengesetzt sind. Adams und Shanks haben 1982 als Gegenbeispiel n=271441=5212 angegeben, Jeffrey Shallit von der Universität Waterloo (Ontario, Kanada) im gleichen Jahr n=904631=7×13×9941. Neue Ergebnisse sind willkommen; aber wer weitere Perrin-Pseudoprimzahlen finden will, muß viel Geduld und Rechenzeit aufwenden. Jedenfalls hat John P. Robertson aus Berwyn (Pennsylvania) bis 2900000 keine weiteren entdeckt.

Literaturhinweis

Der Goldene Schnitt. Von Albrecht Beutelspacher und Bernhard Petri. Zweite, überarbeitete und erweiterte Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1996


Aus: Spektrum der Wissenschaft 11 / 1997, Seite 10
© Spektrum der Wissenschaft Verlagsgesellschaft mbH
11 / 1997

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft 11 / 1997

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