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Diskrete Mathematik

Die verkannte Schwester der Fibonacci-Folge

Trotz ihrer einfachen Definition hat die Folge von Stern und Brocot eine Fülle überraschender Eigenschaften. Und jedes Jahr kommen neue hinzu.
Graph der Stern-Brocot-Folge

Erratum: In der Abbildung g (S. 68 unten) muss die Zahl unterhalb von 3/11 (links unten) 3/14 heißen, nicht 3/4. Die Zahl unterhalb von 9/2 (direkt rechts neben dem ersten Fehler) muss 11/2 heißen, nicht 11/12. Dr. Thomas Schirmer aus Darmstadt hat uns auf den Fehler aufmerksam gemacht.
Altbekannt und vielbeschrieben ist die Zahlenfolge, mit der Leonardo von Pisa, genannt Fibonacci (um 1170 – 1240), die Vermehrung der Karnickel (sehr theoretisch) beschrieb: f0 = 0, f1 = 1, fn+2 = fn + fn + 1. Jedes Folgenglied ist gleich der Summe seiner beiden Vorgänger; die Folge beginnt mit 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … Sie taucht in sehr unterschiedlichen Zusammenhängen auf und hat eine Vielzahl bemerkenswerter Eigenschaften – Stoff genug für eine eigene Fachzeitschrift namens "Fibonacci Quarterly".

In diesem Artikel geht es um eine Folge, die im Schatten der berühmten Fibonacci-Folge steht, obgleich sie nicht weniger interessante Eigenschaften aufzuweisen hat. Ihre Definition sieht auf den ersten Blick fast so aus wie diejenige der großen Schwester: s0 = 0, s1 = 1, s2n = sn, s2n+1 = sn + sn+1.

Die Folge beginnt mit 0 und 1. Das Glied mit der Nummer m ist gleich dem mit der Nummer m/2, wenn m gerade ist. Eine ungerade Nummer m zerlegt man in zwei Teile, die so eng benachbart sind wie überhaupt möglich. Das m-te Folgenglied ist dann die Summe der Glieder mit diesen Teilnummern. …

Mai 2015

Dieser Artikel ist enthalten in Spektrum der Wissenschaft Mai 2015

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  • Quellen

Bates, B. et al.: Child's Addition in the Stern-Brocot Tree. In: European Journal of Combinatorics 33, S. 148 - 167, 2012

Calting, N., Wilf, H.: Recounting the Rationals. In: The American Mathematical Monthly 107, S. 360 - 363, 2000

Finch, S.: Mathematical Constants. Encyclopedia of Mathematics and its Applications 94. Cambridge University Press, 2003

Stern, M.: Über eine zahlentheoretische Funktion. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik 55, S. 193 – 220, 1858